对称性闲话（续）

在上篇日志结束的时候，我们得到这样的印象：没有理由认为经验世界中的对称性是严格成立的，因为我们甚至并不知道在经验世界中“严格”是否有意义。而另一方面，凡是可被经验的对称性一定可以被可观测的物理效应所破坏，否则，我们将无法通过经验判断这种对称性是否起源于语言的冗余。

为了更好地理解这个陈述，让我们考虑一个“完美的球体”。教科书给予我们的成见是，人们称这个球体具有球对称，是因为它在旋转变换下保持不变。可是，仔细考虑之后，你会发现，为了定义旋转变换，我们得预先在球上画好经线和纬线，也就是建立球面上的坐标系。通过指定经纬网格位置的变化，我们才能说对球体施加了一次旋转变换。

建立球面上的坐标系，这在理论上没有困难。真正至关重要的问题是，这个球体是否允许我们用一支记号笔在它的表面上将这个坐标网格画出来？——言下之意，我们是否可以“物理地”破坏球体的球对称？

如果这个问题的答案是否定的，也就是说，如果动用一切手段都无法确知这个球究竟是否发生了转动，那这将意味着，该球体的任何位形在物理上都是等价的——请注意，这是一个相当挑战直觉的情形。因为在此时，我们无法确知这个球是否发生了绕球心的转动，从而，其自转角动量将是不可测量的——你瞧，这是一个彻底的经验主义者必然会得到的结论。


实际上，从日常生活也能发展出类似的但不那么挑战直觉的例子——考虑镜子中的像。请站在一面镜子前，设想它是无穷大的平面镜，暂时忘掉所有关于平面镜成像原理的光学知识，暂时忽略所有我们世界中的所有手性。（这里的手性是指，绝大多数人心脏都在左侧，参与生物活动的葡萄糖都是右旋(D构型)，我们看到的中微子都是左手，等等。）此时，你所面对的世界就是一个具有镜像对称的世界。并且，动用一切物理手段，你都无法区分镜子的里和外，因为赖以作此区分的手性已经被我们忽略了——现在，你怎么知道自己不是镜子那边的你的像呢？换言之，我们将无法通过观察判断出一个物理过程究竟发生在镜子的哪一边。

所以我们有时也会见到这样的表述，即：对称性就意味着不可观测量的存在。

而我倾向于将这种情形下出现的对称性都叫做“规范对称性”。极其粗略地讲，规范对称性是非物理的对称性。这里的“非物理”应在存在着不可观测量的意义下理解。

明白了这些，你可以很快举出各种规范对称性的例子：能量零点的任意性（这里暂且不考虑引力）；量子力学中波函数相位的任意性；全同粒子编号间的交换对称性，等等。它们都和某些不可观测量相连。

不过为了避免误解，需要注意的是，当人们提到规范理论的时候，多数情况是指连续局部规范对称性。那些与基本相互作用相关的对称性即属于此类。

为理解基本相互作用中的规范对称性从何而来，让我们考虑一个简化的图像。一般而言，相互作用由无质量的、自旋为1（即螺旋度为1）的粒子传递。在3+1维时空中，这种粒子只有两个独立的极化方向（比如，光只有两个独立的偏振方向）。而量子场论中，与这种粒子的对应的量子场是矢量场（即规范场），它在3+1维时空中有4个独立的极化方向。这四个极化中，有1个对应于自旋0，3个对应于自旋1。如果用这三个自旋1的极化分量去描写一个本身只有两个独立极化的自旋1粒子，显然会多出来一个。这个自由度在描写零质量自旋1的粒子时没有任何对应——它就是规范对称性的来源。这个图像之所以是简化的，是因为我们略去了规范场自身的相互作用。用行话来说，后一种情形对应于非阿贝尔（non-abelian）规范场。

量子场论是一个局域的理论，在每个时空点上，场量的自由度都有冗余，因此相应的规范对称性在每个时空点上分别存在，这就是局域规范对称性中“局域”一词的所指。它意味着此时的规范对称性是非常大的。对于电磁场来说，这可以很不严格地写成U(1)×R^4。这样大的对称性会对系统的Hilbert空间带来本质的影响。如若这种对称性被破缺，后果很严重。所以，人们一般倾向于认为这种对称性是严格的（因为它的确来自语言的冗余），而那些整体对称性，包括上篇日志中提到的Lorentz对称性，一般是近似的（因为它们毕竟是物理世界真实的对称性）。

有人也许会对我们语言的冗余耿耿于怀，他们会问：倘若改用一种精炼的语言去描述我们的理论，是否就可以避免这种冗余、继而将规范对称性从我们的字典中驱逐出去呢？——这当然可以，但是要付出代价。就上面提到的规范场论，代价是：或者破坏时空对称性、或者容许鬼（ghost）的出现。其中，前者自然是人们不希望的，而后者是否会使人感到头痛，取决于你是否怕鬼。在规范场论的现代版本中，人们已经能够很好地理解鬼并控制它。我们在Hilbert空间中辟出一片空地专门供它们游荡，同时也能阻止它们出现在描写真实世界的区域中。这在场论中叫做BRST方法——四个字母分别来自四位物理学家的姓名。

至于为什么避免语言的冗余就可能破坏时空对称性，这可以用一个比规范场论简单地多的模型来理解：考虑一个点粒子在时空中的运动。我们知道，自由粒子沿测地线运动。对此可以用两种方法描写之。一是参数方程。取参数为s，在3+1维时空中，这相当于方程组t=t(s)， x=x(s)， y=y(s)， z=z(s)。这个理论自然具有一种规范对称性——参数的任意选取不改变物理。同时，这种描述还是Lorentz协变的——在Lorentz变换下上面的方程组形式不变。此时的规范对称性的确是局域对称性，因为重参数化可以由函数s’=s’(s)在测地线上逐点确定。同时，它的确来自与语言的冗余：即出现了多余的参数s。如果我们从上面的方程组中将它消去，并得到一组新的方程：x=x(t)， y=y(t)， z=z(t)，语言的冗余自然消失，但方程的Lorentz协变性也随即消失。