讨论班第二次活动预告

本学期的“现代量子场论”讨论班已于本周五*进行了第一次讨论。在张龙大老虎的带领下，我们初步学习了Shankar关于重整化群的文章。

结合大家的时间表，我们同意将今后的讨论安排在每周周日晚上18：00~21：00左右。地点仍然是理科楼1221报告厅（在数学系那边）。

于是，下次讨论的时间就是4月4日晚。届时我们将讨论量子反常（Anomalies）的有关问题。

我个人觉得反常是量子场论中最有趣的现象之一。原因有三。其一，在现代物理中，对称性和量子化是两个极为重要的基本概念。而反常恰恰将此两者联系起来。它告诉我们，经典系统的对称性禁不起量子化的折腾。其二，反常的根源在于非平凡的拓扑。我们最常见的手征反常在数学上表现为Atiyah–Singer指标定理。对此学习有助于我们更好的理解场论的数学结构。其三，反常有实验为证。事实上，这种现象最初就是在实验中被发现的。可见，反常上通数学，下达现象学。内容如此丰富的问题在场论中实属凤毛麟角。

但这并不意味着反常是难于下手的东西。我们下次的讨论将从最基本的对称性原理开始。内容涉及推导手征反常的路径积分方法，以及一点现象学。我希望每一步的讨论尽量做到简单明晰。

根据张龙大老虎的要求，在正式讨论之前，有必要将所用的参考文献列举出来。

首先是经典的文章：

Fujikawa: Phys. Rev. Lett. 42, 1195;
Fujikawa: Phys. Rev. D 21, 2848;

同时也许会参考下面几本书的相关章节：

Peskin & Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory;
Weinberg: Quantum Theory of Fields, Vol.2;
Bertlmann: Anomalies in Quantum Field Theory.

当然，我们届时的讨论将假设参加者完全没有读过这些文章。

如果一切顺利，讨论完毕后，我会在此贴出一个讲稿。

 

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*此处将周日视为一周的最后一天。

浣溪沙三首

浣溪沙
偶得于物理之中

近來忙於計算，冗長之至，數日未得結果，不得已休筆一日。偶發逸興，填成三首，疏於平仄，不論陰陽。唯求自娛，或可貽笑方家。

積雪難融近春分
算稿未定懶出門
端茶小憩意紛紛

數盡玄機難自現
物含妙理可堪尋
人間唯此最銷魂

又

辛苦經年覓法身
致知格物亦凡人
執迷不悟最傷神

長道慧愚皆是性
總言利鈍無非根
一聲長歎對暮雲

又

獨坐書齋伴微塵
閑翻經典漸黃昏
推演全賴中書君

筆走長篇時有錯
神遊片刻偶成真
此中憂樂不需陳

从全息原理到牛顿定律

继续上篇的讨论。

Verlinde的主旨，是希望将全息原理作为更基本的假设，并由它推导出我们已知的引力理论，如牛顿力学或广义相对论。为了解释这个想法，Verlinde反复引用了弹性理论的例子：一百多年前的人们并不知道什么是原子、什么是晶格，但这并不妨碍他们建立关于固体弹性的宏观理论。只是当人们认识到了原子之后，才可以重新用原子理论的一套方法重新推导出已有的弹性理论。Verlinde认为，牛顿力学或者广义相对论恰好相当于宏观的弹性理论，而全息原理就扮演原子理论的角色。

这自然是恰当的类比。然而引力与弹性理论的不同在于，我们今天还处在“前Planck物理”时代，因此并无完整的全息原理可供使用。所以要找到一个合适的全息假设，我们只能从现有的理论入手，管窥蠡测地去寻找全息原理的蛛丝马迹。这虽然困难，却并非不可能。因为，虽然微观理论深藏于极其微小的Planck尺度，但是那里发生的一些秘密会泄漏到我们可见的世界中，这就是黑洞熵。

在经典情形，黑洞只有极少的自由度，即质量、角动量和内部对称性的荷（例如电荷）。这就是所谓的无毛定理（No-hair theorem）。然而当考虑量子效应后，黑洞就有非零的熵，且正比于其表面积。这一点最初似乎由Bekenstein提出。事实上，如果黑洞熵正比于其表面积，则当我们向黑洞中投入一颗质点后，黑洞的熵和表面积都会增加。可是人们当时已经知道，当质点以恰当的方式被投入Kerr黑洞时，黑洞的质量与表面积并不增加。

Bekenstein注意到[1]，这个结论基于“质点”的假设。当我们考虑了量子力学后，任何粒子，即使是基本粒子，都有一个尺度，它或者是粒子的Compton波长，或者是Schwarzschild半径。当这样一个半径不为零的“球状物”被投入黑洞时，黑洞的半径确有不为零的增长。Bekenstein将之视为黑洞熵的增长。

黑洞有熵，意味着它包含着巨大的微观自由度。不仅如此，黑洞还有温度，还有热辐射。这就是著名的Hawking辐射。当然，这也是与经典理论直接相悖的结论：根据经典广义相对论，黑洞不仅无毛，而且一毛不拔。

为了理解这个结果，Unruh给出了一个有趣的解释[2]，现在人们称之为Unruh效应。它说，在惯性系中的观察者看来空无一物的真空，在加速的非惯性系观察者看来，却是一个有温度的“热浴”，这个加速观者将看到无数的作热运动的粒子。简单地讲：你只要在真空中兜圈子，周围就会变热。你跑得越快，温度就越高。

这个有悖直觉的结论其实并不太出乎意料。关键在于，加速观者与惯性观者所用的钟表不同：它们之间并不是简单的Lorentz变换，而是一个非平凡的广义坐标变换。另一方面，我们知道，量子场论中的真空实际上是指万物的基态：并非一无所有，而只是悄无声息而已。一旦当你进入到一个加速的参考系中，由于你所携带钟表变了节拍，原来悄无声息的基态就变得喧闹起来。这就是热背景的由来。

Unruh效应虽然是对平直空间而言，但与Hawking辐射其实是一件事情。你只需注意到，自由降落的参考系与惯性系无异：无论在下坠的电梯还是漂浮在太空中的飞行器，你在其中感受到的物理是一样的，尽管心情可能完全不同。所以，一个自由降落进黑洞的观测者就相当于惯性观察者，他不知道什么是黑洞，当他穿过黑洞边界时不会出现任何异常。自然，他也看不见黑洞辐射。然而在它看来，远处的观察者相对于它在作加速运动。而根据Unruh效用，相对于惯性系作加速运动的观察者必看到热辐射：这就是Hawking辐射。

好了，以上就是全部的准备工作。接下来我们展示Verlinde的推导。[3]

Verlinde说引力是熵力，即熵增原理的宏观效果。比如渗透现象就是一种熵力。在给定的温度T下，根据能量守能，熵力F可由熵变ΔS确定为：
 
因此只要知道了温度T和熵变ΔS对位移Δx的依赖，即可求出熵力。

不要忘记全息原理：它说，信息储存在界面上。首先考虑局域的情形，我们取一小块屏：

大致上我们可以将此屏视为空间的边界。这块屏的左边是什么我们不清楚，而它的右边则是我们已知的空间。现在，在其右端距离一个Compton波长左右的位置Δx放置一颗质量为m的粒子，全息原理假定，由此粒子贡献于屏上的熵ΔS为：

这就是熵变对位移的关系。至于温度，我们有Unruh效应：对于一个加速度为a的观察者，“真空”的温度由下式给出：

由以上三式，消去熵变ΔS和温度T，瞧瞧我们得到了什么：

以上是一个局域的推导。接下来我们取一块完整的屏，一张包围了质量M的球面。

根据全息原理，假定该球面所包围的微观自由度N正比于其表面积A。由量纲的考虑补充进适当的常数，就是：

 

再假设此球体内的能量均分于各微观自由度，即Boltzmann能量均分：

而该能量E由球面所包含的质量给出：

另外，球的表面积A为：

则由以上四式，再加上熵力的定义（1）与全息假设（2），不难得到：

OK，我们暂停此处，不多解释。

 

给出参考文献，供希望知道细节的同学查阅：

[1] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 7, 2333 (1973)

[2] W. G. Unruh, Phys. Rev. D 14, 870 (1976)

[3] E. Verlinde, arXiv: 1001.0785 (2010)

全息引力

自然界有四种基本相互作用。这是现代物理中惯常的说法。在这四种相互作用中，引力（gravity）无疑是最早为人所知的一种。牛顿的万有引力定律在今天已成为人所共知的规律。然而在目前看来，引力也是四种基本相互作用中最令人费解的一种。

其实说费解倒也未必，因为我们对引力并非一无所知。实际上，我们有广义相对论。这个描写引力的理论从理论结构到实验验证无疑都很成功，近乎完美。

既然如此，我们仍然认为引力难于理解，就必然另有原因。我以为这个原因来自引力独特的个性。与其它三种相互作用相比，引力显得非常与众不同。如果你下意识地认为四种相互作用应当在某种程度上被统一（亦即可由单一的理论来解释），那么这种与众不同就显然难以理解了。

引力最突出的特征在于，它作用于所有的物质。如果观察其余三种相互作用，我们就会发现，每一种相互作用都只对带有相应“荷”的一类物质起作用。比如，只有带电荷的物质间才会有电磁作用。而引力则不同，它与所有具有能量的物质发生作用。所以或许可以等效地说，能量就是引力的荷。

既然如此，也许引力与其余三种相互作用确有不同的起源。广义相对论将它的起源归结于时空的几何。这个观察来自等效原理，简言之即惯性质量和引力质量相等。如果确实如此，那么只需要牛顿定律，你就会发现，在引力作用下的质点的运动方程与它的质量无关，或者说与物理的动力学无关，从而变成了一个纯几何的方程。等效原理在这里所起的作用十分关键，所以它的正确性自然就很重要。这就是为什么自伽利略扔铁球以后的几百年里，人们还在不断地重复类似的实验而只是为了提高精度。的确，等效原理在目前已被验证到了极高的精度，大致在十个量级以上。

不过可惜的是，这些验证都是宏观的实验。因为引力实在太微弱，所以在微观领域极难被观察到。事实上，目前还没有实验能在毫米尺度以下观察引力的效应。相对于高能物理中的其他相互作用而言，这个尺度显然是非常大的。说得严重一些，我们根本没有在毫米以下的尺度观察到引力，所以没有任何直接证据表明等效原理以及广义相对论在这个尺度下仍然成立。

这为理论家让出了空间。既然引力的微观规律完全未知，那么不妨假设它是衍生的（emerge）。也就是，在微观领域并不存在什么万有引力——它只是另一种微观物理在宏观条件下所显示的现象。正如压强：你无法谈论一颗气体分子的压强是多少，因为压强是大量气体颗粒的集体行为。

物理学家在“衍生”的引力方面做出了各种尝试。花样翻新，一年一度。如果说去年的热点是Horova在一月份提出的“相变”引力（见此前的一篇日志【切除时间】），则今年的热点就是Verlinde同样在一月份提出的“熵力”。

简单地声称引力是衍生现象自然是没有根据的——我们得有一个可作为指导性的原则，或假设，方可作此断言。这就如同声称引力是几何效应需要以等效原理为前提。

Einstein的相对论基于等效原理，而Verlinde提出的“熵力”则基于全息原理。

与等效原理不同的是，全息原理到目前为止不仅没有实验验证，甚至在理论上也是不完全的。人们并不清楚如何一般而精确地表述它。大体上，这个原理是说，一团空间内的物理可以由其边界上的过程所描述。

关于全息原理，物理学家的灵感来源于黑洞。根据Bekenstein的著名结果，黑洞有熵，且其大小正比于黑洞视界的面积。如所周知，熵这个物理量记录了物质所含状态数（或者信息量）的多少。黑洞具有非零的熵，意味着它具有大量的微观状态数。此熵又正比于视界的面积，这个事实暗示我们，黑洞的微观状态都被记录在了它的边界上。

由此我们可以推断出另一个有趣的事实，即一团空间内所能包含的最大熵，或者说，这团空间所能记录的信息量，存在上限。对于一团球形的空间，这个上限恰好是以其边界为视界的黑洞的熵。（这个推导很简单，请见此前的一篇日志【不确定性原理的毁灭？】。）瞧，空间所含的信息量由其边界所控制，可见全息的概念不止出现在黑洞中。

一定体积的空间所包含的信息量有限，这与量子场论直接矛盾。因为通常的场论是一个定域的理论，它假设时空是连续的，从而可以谈论“点”的概念。在场论中，原则上可以将物理对象局限于任意小的区域内，从而一团空间所能承载的信息量原则上可以任意大。

这里之所以出现了矛盾，乃是由于连续时空的假设是一种近似。场论通常所涉及的尺度比时空涨落的尺度大了许多，因此对这种涨落并不敏感。这很好理解：比如，我们通常可以认为固体中的声波是连续的弹性波，这是因为此时的声波波长远大于晶格的大小。但是如果振动模式的波长与晶格的尺度相当，则连续波的近似就不再成立。在固体物理中，计算固体比热的Debye方法就用到了连续波近似，结果遇到发散。发散的原因是此近似在高频区（短波长）不再成立，所以需要截去高频区的贡献，以得到一个有限的结果。与之完全相同，量子场论中屡屡出现的发散，也可以被解释成高能区（小尺度）下场论的连续时空假设完全失效的结果。

全息原理与量子场论的矛盾，显示出引力更为独特的个性。它暗示我们，可能某些大尺度下的引力效应，也根本无法用场论描述。此时需要另一套与场论完全不同的方案，比如弦论。或者是Verlinde提出的熵力。Verlinde指出，若从全息原理出发，将引力视作一种熵增效应，则在某些一般的假设下，可以推导出牛顿第二定律以及万有引力定律。而实际的推导只需要初中数学就够了。关于其中细节，容我下回再叙。

肮脏的物理

请问，1+1+1+1+……，这个求和的结果是多少？

几乎不用思考，你立即就能指出，它的结果是无穷大。

然而，据说，物理学家们认为1+1+1+1+……=-1/2。

令我印象深刻的是，Wiki在对这个序列的介绍中引用了一篇文章(arXiv:gr-qc/0409076v1)中的话。我姑且将它抄在这里：

• “在不到一年的时间内，两位杰出的物理学家Slavnov和Yndurain先后来到巴塞罗那讲讨论课，当然是关于两个不同的领域。值得注意的是，在演讲中的某处，两人都向听众说出了这样的话：‘如所周知，1+1+1+…=-1/2’(As everybody knows, 1+1+1+…=-1/2)。”

该文进而评论道：

• “也许这意味着，‘如果你连它都不知道，那就不用听下去了’。顺便提一下毕达哥拉斯学派的引理，‘不懂几何者勿入’。”

我也顺便提一下，“不懂几何者勿入”似乎是柏拉图学园的门牌，跟毕达哥拉斯无关。

这个计算用到了zeta函数正规化方法。（zeta函数正规化其实在场论中经常出现，但常见的场论初级教科书对此很少提及。我参考Ramond的书以phi-four理论为例将其整理成一个简单但粗糙地笔记，供感兴趣的同学【下载】。）

正规化方法是理论物理中常见的计算方法。非常粗糙地讲，它的大意是：对一个发散的表达式进行计算，并算出一个结果。

含有发散的问题常使人感到尴尬，当然这也因人而异。通常令数学家忍无可忍、火冒三丈的东西，物理学家却处之泰然。这正是物理与数学的巨大区别。这使我想到某位前辈（如果没记错应该是Pauli）说过的话：“要学物理，就得把手弄脏（To learn physics you must get your hands dirty.）。”

许多初入门径的物理系学生对此颇不习惯，我感受尤深——这里插两句闲话。清华数理基科班富有实验精神，善于拿各届学生做试验。我这一届所接受的实验方式是，从大一开始学习很专业的数学，数学系的老教授讲课时完全将我们视为未来的纯数学家。事后看来，这样做的好处与缺点都非常明显（这里是相对物理系的同学，对数学系而言显然是优点远大于缺点）。比如，最终大家都学会了“用数学分析课来攻击量子力学的严格性”（量子力学老师庄鹏飞先生语）。

我想说，物理学对这种攻击基本上是免疫的。理由如下：

1、这一条送给物理的初学者。在大多数情况下，物理推导显得不严格，并非由于它们真的不严格，而是因为物理学家知道如何严格地表达它们，但这种严格表达的代价也许是大费一番唇舌，故而代之以大家都能看懂的却不那么严格的方式。这种情形多出现于初级的物理课本中，比如四大力学。

2、另一些情况下，物理定理显得不严格，是因为物理学家根本没打算让它变得严格。比如常见的连续条件、可微条件，物理学家常常一概不管。这种不拘小节显然可以大大提高工作效率，而且通常不会出错（当然也有出错的时候，那要另当别论）。事实上，物理方法的亮点就在于“关心主要矛盾”。从而，它很忌讳“事无巨细”。

到此为止，我一直试图照顾数学系同学的情绪。接下来，就要原形毕露了：

3、在一些极可能“出错”的地方，物理学家宁可出错，而不是去关心严格性。比如前文提及的正规化方法。事实上，对同一个发散的表达式，使用不同的正规化方法进行计算，时常会得到不同的结果。（比如，对非绝对收敛的级数任意调换求和次序。）此时，物理学家更感兴趣的问题是，这些不同的结果是否都有物理意义，或者，哪些结果最令人感兴趣。因为，结果之所以如此，往往是因为在对物理问题作数学陈述的过程中已经出现了某种错误，因而正规化方法就相当于将错就错，错错相抵。对此A. Zee说过，“天才和凡人都犯错，不同的是天才错偶数次，而凡人错奇数次”。

4、物理学家关心“发现了什么”而不是“是否严格”。物理学从来没有严格过。近代物理学的第一套完整理论——牛顿力学，就建立在远非严格的微积分的基础上。推而广之，近代科学的第一要义，绝不是关于严格，而是关于有效性。（因而在这个意义下，数学并不能算作科学。）科学的威力对人们的震慑并不来自它的严格性，而是来自它的效果。工业革命、电器技术、原子弹、卫星，对大众而言，这其中的任何一点都比纸上谈兵的严格性证明更具说服力。你会发现，科学常常自称有一套“严格的研究方法”，但这只是自我标榜而已。可是人们常常被这种标榜弄得习而不察，竟然往往视“科学的方法”这个短语为褒义，实在滑稽。事实上，要论严格性，科学可能远不及中世纪的神学。

5、对于物理学家而言，本来也无关心严格性的必要。因为物理学的对象是自然。在我看来，对人而言，自然最大的诱惑力在于它的复杂性。因此如果我们仍要一厢情愿地将自然理解为一颗晶莹剔透、完美无瑕的钻石，那简直就是对自然的侮辱。说到底还是那句话：自然不是无菌室，要想研究它，就得将手弄脏。

(附件：关于Zeta function regularization的note)

后现代化的理论物理学

后现代的帽子无论戴在什么上面，似乎都会使其显得前卫新潮，以及一丝高深莫测，从而不免有自欺欺人之嫌。但是本文仍然企图搜集一些证据，或者迹象，以表明今天的理论物理学研究的确已经有别于现代性框架下传统科学的典型形象。值得提前说明的是，在下文中将被提及的若干问题，都需要进一步的发展与论述方可予以澄清。这在本文如此短小的篇幅内显然是无法完成的，因此以下的内容毋宁说是一个提纲。

我们恐怕必须从名词解释开始，以弄清楚什么是“后现代的理论物理”。然而为了说明这一点，我们就必须首先知道，什么是“现代的理论物理”。

在物理文献中，“现代物理”（modern physics）一词常被用来指称出现于二十世纪以后的那些有别于经典物理的新物理，它们以相对论与量子力学为代表。物理学家使用这样的词汇，以强调科学革命之后的新范式与经典物理的巨大差异。然而，当我们谈及“现代性”与“后现代性”时，似乎应当把整个经典物理学也置入“现代”物理理论的框架才更为合适。事实上，近代科学的诞生与成熟（在物理领域以伽利略和牛顿理论的出现为标志）正是西方世界自启蒙运动之后步入现代化的潮流的一个重要方面。经典物理的研究方法及其对人类自然观的改造，都显示出明显的现代性特征。因此在本文中，我们将用“现代物理”指称以牛顿力学为代表的一批诞生于经典的研究方法与自然观之下的物理理论。除了牛顿力学，其典型代表还有经典的电磁学理论。

此刻，有必要勾画出现代物理的基本特征。从而通过考察当代物理对这些特征的偏差与超越，以阐明标题中“后现代化”的内涵。

我们注意到，经典物理的研究方法最早由伽利略总结下来，并至今仍为国内物理学的初级教材所津津乐道。在这种方法的框架下，物理学的研究无非是这样几个步骤：1、通过实验总结规律；2、总结规律，上升为理论；3、用理论做出可供检验的预言；4、再通过实验检验理论。尽管物理学发展的真实历史要比这个过程复杂得多，但是大致上，牛顿理论之后的许多物理理论正是循着这条道路发展起来的。最典型的例子就是经典电磁理论。我们甚至发现，尽管早期的量子力学极大地颠覆了物理学家的传统观念，但是它的发展仍然与上述的几个步骤相合。

另一方面，现代物理学的理论在人类现代自然观的形成中起到极其关键的作用。这个过程即所谓自然的“袪魅”。当牛顿将月球与群星的运行这些高高在上的“完美运动”与诸如苹果落地这些呈现在大地之上的日常规律用统一的规律描写时，有关天空的各种神秘的力量都消散了：一切只不过是惯性与万有引力使然。亚里士多德的“天然位置”被从科学的领地清除出去，同时被清除的还有与之相关的价值问题。突然间，世界逃出了上帝或诸神的照看，变成了一堆齿轮发条的复杂组合。在这样的世界中，拉普拉斯对回溯历史与预知未来的幻想就不再显得像是痴人说梦。

然而牛顿力学的影响远不止此。作为近代物理学的第一套完整理论，它以简单明晰的理论结构所取得的巨大成功给人以强烈的震撼，它的耀眼光辉给人们造成一种幻觉。在这种幻觉中，世界真的就是一架牛顿定律的机器。反过来说也对：牛顿力学的规律真的就是万物运行的规律。我们看到，这种深信不疑使康德将牛顿力学安放于先天的知识中。
发生在20世纪初的科学革命的重要意义就在于，它使人们发现，那种视牛顿力学为真理的观念只是一个时代的幻觉。在这场“解除幻觉”的变革中，相对论自然居于核心地位。但是在今天看来，它的作用十分有限。事实上，虽然相对论使人们意识到牛顿力学并非真理，但它本身却加强了物理学家们寻求统一的终极理论的信念。然而，从后现代的观点看，这是不重要的。有趣的是，今天的物理学家已然认识到了这一点。在这场认识的转变中，重整化群理论与“层展”（emergence）的思想起到了关键作用。

最初，重整化只是量子场论专家发明的一套计算手续。他们在对场论中的某些过程做计算时，发现得到的结果是无穷大。然而，如果使用一种系统的“扔掉”无穷大的方法，则可以得到有限的结果，这种方法就是重整化。令人困惑的是，在计算中随意扔掉一个无穷大看上去没有任何道理，但另一方面，物理学家用这套无厘头的方法却能得到正确的结果，甚至与实验结果在很多位有效数字上都符合。正是这些难以理解的困难使得量子力学大师狄拉克一生都在怀疑重整化，如同爱因斯坦一生都在怀疑量子力学一样。

然而我们今天已经十分清楚，重整化之所以在当时显得那样古怪，是因为人们对场论的理解还很有限。得益于威尔逊(K. G. Wilson)等人于70年代发展起来的重整化群理论，我们已经能够很好地把握场论中那些出现无穷大的计算。更重要的是，通过这样一套理论，物理学家对于理论物理的态度已经开始发生本质的变化。

重整化群理论回答了这样一个问题：一种描述自然的理论，在我们观察世界的不同尺度上会发生怎样的变化。它给我们的教益是：我们固然可以不断地从物理的角度追问自然的“本质”，也即不停地寻找更基本的理论。但是，那些更基本的理论对我们业已了解的物质层次影响极小，以至于若我们只关心常规世界的知识，则那些极端条件下的所谓“更基本”的物理理论都是不重要的。这就是说，物质世界的不同层次之间是脱耦的（decoupled）。

在此基础上，当代的物理学家逐渐形成了一种“层展”（emergence）的自然观。其大意是：每个物质层次都有其特有的运行规律，这些规律不能简单地还原为另一些更基本物质层次的运动规律。显然，层展论是对还原论的反制：你可以认为，一个人是一堆原子的集合，你也可以认为，精神活动是一群电化学反应的集合，但这种观点意义不大。也许它们是正确的，但不是真理。

可见，层展的理论为各种高级物质层次上理论研究让出了空间。这多出的空间为一些在传统观点看来显得荒谬的研究赋予了意义。比如，我们无法以至今未发现“元气”所对应的物质粒子而否认对“元气”进行研究的价值。因为，按照层展论，也许“元气”本身就并不对应于任何基本物质粒子。

不仅这些传统科学之外的学科得到了解放，理论物理学本身的研究也获得了空前的自由度。这一方面有重整化群以及层展论的影响，另一方面，也是理论物理自身发展的结果。值得指出，物理学理论的演化并不是旧理论不断被新理论替代或推广的过程，不是江山易代的循环。事实上，物理学家会小心地避开前人的各种错误。我们不再像前人认为牛顿力学是终极真理那样相信爱因斯坦的相对论。事实上，物理学家已经提出了五花八门的理论以修正相对论的各种不足。人们之所以能够如此操作的另一个动机在于，我们不再十分相信，自然真得就是我们的理论所描述的那样。物理理论只是模型，它的意义只在于有效性。物理学家关心的是，他们的理论是否能和实验结果吻合，而并不关心这些理论是否是真理。

在这样的条件下，各种物理理论的风格可以千差万别，沾染着各个物理学家的个性与偏好。理论物理变得更像是一种游戏，一种由一些模糊的规则所约束的游戏。这种游戏的目标，不再是“解谜”，而更像是某种“构造”。

（完）

如果你不清楚什么是后现代，那么这张图会是一个不错的解释：

【广告】规范场论：清华大学2010年春季学期

我的导师何红建老师下学期继续开讲“规范场论”课程。他今天将新修改的教学大纲发给我们让我们帮忙宣传：

这是他的教学大纲

我大致看过一遍。相比之前的内容，新增了：

1）暴涨的有效理论(Effective theory for inflation)，我猜应该是与Weinberg近年来的工作有关；

2) 弯曲时空背景的量子场，特别是旋量场的构造，这与我们组里这学期的工作有关；

3) 暗物质与LHC。这部分内容完全是新闻式的。相关实验正在进行中。

几条相关链接：

何红建老师的简介

更多关于何老师的内容（这个有点囧）

百度百科

 

各种无穷大

今天，物理学家（至少理论家）对无穷大的出现早已处之泰然。物理理论中到处都可以有无穷大。比如，如果你坚持牛顿引力的平方反比律，那么当你越来越接近一个质点时，你感受到的引力就会趋于无穷大。

一般来说，出现无穷大就意味着理论在某种意义上的失效。这种失效可以来自于一些不合适的假定。在上例中，引力趋于无穷大是因为我们假设了“质点”的概念。我们之所以谈论质点，就是假定了它的尺寸对我们感兴趣的问题来说可以忽略不计。比如，当我们讨论月球绕地球的运行时，将月球视为质点，就是有效的假设。但对于登月的宇航员，再将月球看作质点，就是无稽之谈。换言之，月球的尺寸在我们越来越靠近它的时候变得越来越不可忽略，因此早在引力变成无穷大之前，月球作为质点的假设就崩溃了。真实的自然因之而幸免于无穷大。

无穷大似乎总是人造的。仍用上例。引力变成无穷大，是因为我们在理论中放进了一个密度无穷大的物体（即质点）。当然，我们可以抛开这个也许已经使你感到无聊的例子，去关注一些更有趣事情。比如，相变过程中某些热力学参量趋于无穷，是因为我们事先假定了系统本身为无穷大（即所谓的热力学极限）。比如，恒星坍缩成黑洞，在其中心形成了一个密度无穷大的“奇点”，是因为我们假定了时空本身的连续性，请注意，连续性本身就是一种无穷大！还有，微扰量子场论中“费曼图”出现了无穷大，是因为我们假定了“场”本身具有无穷大的自由度。

“无穷大”的确使人难以理解，也许它纯粹是寄居于人类理性中的魔鬼，而并非自然界中的真实存在。比如我们可以问，自然界真的存在实数吗？我倾向于否定的回答。至少就我们目前所知，时间和空间本身不具有如同实数集那样的完备性。

不过，无穷大的假设为理论研究带来的巨大的实惠。如果没有质点的概念，牛顿力学的复杂程度将是不可想象的。几百年来，人们发明了许多工具来驯服无穷大的魔鬼，在今天看来成果丰硕。物理学家可以悠然自得地玩弄delta函数，以享受它为计算带来的方便，而不去理会数学家的那一套广义函数的复杂论证。就如同当年的牛顿玩弄他的微积分，而不用关心他其后数百年分析学家的种种努力。当然，这一切都与无穷大有关。

然而形势并非一片大好。自然总在为我们制造种种困惑，或者毋宁说是我们总在自找麻烦，而这些困惑和麻烦往往与无穷大有关。以下几个有趣的例子，展示了（近似的）无穷大对物理所造成的某些极富戏剧性的影响。我且民科一把，以逃避所有的细节。

 

衍生的时间箭头？

第一个例子是热力学。

热力学处理的对象通常是由巨量粒子构成的系统。对其中的每一个粒子逐一描述显然是一种不合理的做法。我们可以有两种对策：一是直接总结现象规律，而是寻找某种假设以解释这些规律。前者即为热力学，后者就是统计物理。
热力学中最引人注目的地方必然是热力学第二定律。这个定律关乎过程的可逆性。也就是说，它引入了一个时间的箭头。

掌握粒子自身运动的物理（量子力学）本身是时间反演不变的，因此热力学时间箭头是一个衍生(emerge)的效果。衍生，就是说在微观层次上不曾有的某种规律，到了大尺度的条件下“自发”地出现。“衍生”本身也许并不使我们感到意外，我们真正意外的是衍生出了一个时间的方向！

我们已经提到，时间的方向与过程的不可逆性紧密相关。为什么过程不可逆？比如那个被举滥的例子：为什么玻璃杯只能掉到地板上摔碎，而碎玻璃不能自发地拼成一个玻璃杯？

我们可以将此解释为某种信息的丢失。极粗略地说，热力学第二定律断言熵不减。熵本身可以被视作信息的丢失，因而热二律就成为：信息只能丢失，不会增加。

然而大自然真正丢弃了信息吗？至少我目前不这样认为：当你烧掉一本书时，书中的信息似乎丢失了，但它们其实仍然被记录在作为燃烧产物的气体分子的位置和动量等信息中。此时，如果你能精确地摆置此系统中的每一颗气体分子，使得它们的状态精确地成为前者的时间反演，我相信它们还会聚集在一起拼成一本完好的书。

类似的讨论可以用来解释为什么我们有可能看见黑洞，而不太可能找到白洞。因为：黑洞作为恒星演化的结果，可以自然地出现；但是，白洞，作为黑洞解的严格的时间反演，需要极其苛刻的初始条件，以至于它的形成本身就像气体自动拼成书一样不可能。

 

对称性自发破缺？

对称性自发破缺是今天理论物理的流行概念。其实它本身不难理解：想象这样一根筷子，它本身具有完好的轴对称。当你同样以完好地轴对称的方式将它竖立在桌面上，然后松手。接下来发生了什么？筷子倒了，倒向某个特定的方向。从而，轴对称遭到破坏。

这个过于简化的例子已经勾勒出了对称性自发破缺的基本特征：掌管系统的规律本身具有良好的对称性（牛顿定律本身并没有对筷子的倒向持有某种偏好），但是存在许多不同的能量最小、最稳定的“基态”。由于筷子在跌落的时候总得选择一个方向，所以当它选定一个基态时，原有的对称性就丧失了。这就是对称性自发破缺的基本含义。

到这里似乎问题不大。但是如果我们将它运用到量子力学中呢？请注意，在量子力学中，态是可以叠加的。所以你会问：如果我们让系统选在所有基态的叠加态上，会发生什么呢？我们完全可以选择一个保留对称性的叠加方式，使得系统的基态根本就不破缺这种对称性！

让我稍稍进入细节：请考虑一个一维势阱V(x)=-a x^2+bx^4，它有两个坑：x=±x_0，对应于两个基态A和B。的确，当系统落在这两个态中的任意一个时，关于x轴的反射对称性消失了，对称性自发破缺；然而如果将基态取为A+B呢？我们立刻发现：对称性没有破缺！

无穷大在这里起作用了。关键在于，对于有限大的系统，量子涨落倾向于将对称性恢复回来，一个对称性被破缺的基态随时间演化，会回到一个恢复了对称性的基态并停留于此，所以对称性没有自发破缺；但对于无穷大系统，这种演化需要无穷长的时间，以致真正的基态就是对称性已被破缺的态。

如果我们一开始就系统摆置在保持对称性的基态上呢？对于一个无穷大系统，答案是任何微小的扰动都会将系统推到一个破坏对称性的基态上。请注意，虽然所有的基态能量都相同，但并非所有的基态都稳定！只有那些能将几乎所有扰动算子对角化的状态才是真正稳定的。

在量子世界中，只有无穷大系统才有真正的对称性自发破缺。所以，量子场论中的对称性破缺在此不受威胁：因为场论本身就是无穷多自由度的量子理论。

 

薛定谔的猫？

以上关于对称性自发破缺的讨论让我们回想起薛定谔的猫。这是量子力学中关于测量的问题。在量子力学经典的哥本哈根解释中，量子态在一次“测量”过程中所经历的演化是非酉的(non-unitary)，也就是不可逆的。在此过程中，量子态“随机”坍缩到测量算子的某一个本征态上，不商量，不解释。

这自然使物理学家感到难堪，因为我们总想寻求某种解释，“通过和平谈判的方式解决问题”。所以，物理学家为此找到了退相干(decoherence)。其基本想法是，考虑测量的过程是如何发生的。测量，它其实是被测量对象，作为一个量子系统，与测量者发生相互作用的过程。用薛定谔本人热爱的术语来说，就是被测量的量子态与环境的量子态发生了纠缠。请注意：完整的描述应该包括被测系统与环境耦合在一起的大系统，但是这是我们无法做到的，因为环境本身（也许就是整个宇宙）的量子态是无法精确描述的。我们所能观察的仅仅是被测系统本身。所以我们所能做的描述本身就含有信息的丢失。这正是不可逆的来源！

（希望以下讨论不会激怒动物权利者）
如果我们照此讨论薛定谔的猫，我们就会碰到与对称性自发破缺类似的问题。请注意，我们此处关心的问题不在于，当我们看到它之前它到底是死还是活，而是说，为什么它一定是非死即活，为什么它不能塌缩到一个死与活的叠加态上。

你会发现这与对称性破缺的情况非常相似。那里，我们的问题是，为什么系统会停在一个对称性破缺的态，而不是这些态的叠加态。因此，我姑且类比上面的解释，对于“猫”这种宏观的、近似无穷大的系统，真正稳定的、能几乎对角化所有测量算子的状态，只有死和活两种。

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不难发现在我们的讨论中无穷大所起的作用。总结成一句话就是：我们的各种困惑来自于信息的丢失，而这信息的丢失来自于我们在一个巨量的、趋近于无穷大系统面前所表现出的无能为力。

今天的音乐，是Scarlatti的键盘奏鸣曲K213。

Pletnev用钢琴所作的现代化演绎让我们感受到Scarlatti的小品中那些超越时间的意义。点此下载。它来自Virgin的唱片：

为什么看不见高自旋粒子

 

Why high-spin particles are not seen yet?

 

(Some
derivations have been removed since it's not easy to input mathematical
equations here. To see the full text please download the PDF file
attached. Here is the LINK.)

 

Introduction

Historically, the concept of spin was introduced by Uhlenbeck and Goudsmit in 1925, in order to explain somewhat weird result of the well-known Stern-Gerlach experiment. They hypothesized that, every electron has an intrinsic angular momentum of \hbar/2. At that time, however, the origin of this intrinsic angular momentum was not clear. Naturally, one might identify the spin of an electron as the rotation along the axis passing through its center. But this does not work, as posed by Lorentz, who showed that the linear velocity of the “surface” of an electron will exceed the speed of light, if such a viewpoint is taken. This is evidently forbidden by the theory of relativity.

The rigorous and systematical treatment of the theory of spin was first given by Wigner, who developed his theory in the frame of the quantum mechanics. As we know, the central idea of the quantum mechanics is the quantum state and the Hilbert space. If a particle can be represented by a state in the Hilbert space, then the symmetry that governs the motion of the particle will also acts on the Hilbert space. We know that symmetry can be described mathematically by a group, thus the action of the symmetry on the Hilbert space can be accordingly described by the representation of the group.

The crucial thing here is that the representation of a symmetry group on a physical Hilbert space must be a unitary (or anti-unitary) representation. This is the famous Wigner theorem. A direct consequence of this theorem on particles, is the fact that a massive particle with spin s has 2s+1 degrees of freedom, while a massless particle always has two degrees of freedom, which has nothing to do with its spin. In principle, the spins of both massive and massless particles can take any positive integer and half-integer value, including zero.

On the other hand, in quantum field theory, particles are created by field operators, which can be classified by their transformation properties under Lorentz transformations. The different classes of fields are known as scalar, vector, or tensor, etc. Of course, they are also the representations of the symmetry group of the space-time, but these representations are quite different from ones carried by states. Since the former is finite-dimensional and non-unitary, while the latter is infinite-dimensional and unitary. This fact leads to a problematic result: the degree of freedom (DOF) of the field will in general be different from the DOF of the state (or particle) created by that field. To fully understand this problem, we will introduce two interesting theorems. They are known as “no-go” theorems which mean the statement of the theorems are negative.

 

Weinberg-Witten Theorem

The Weinberg-Witten theorem mainly deals with the massless particles. The formal statements of the theorem are as follows:

Theorem 1: A theory that allows the construction of a Lorentz-covariant conserved four-vector current J^\mu cannot contain massless particles of spin j>1/2 with nonvanishing values of the conserved charge \int\di^3x J^0.

Theorem 2: A theory that allows the construction of a conserved Lorentz covariant energy-momentum tensor T^{\mu\nu} cannot contain massless particles of spin j>1.

The proof of the theorem is straightforward. The strategy is to consider the S-matrix elements of the conserved current.

(To see the details of the proof, please download the PDF file attached.)

Coleman-Mandula Theorem

The Weinberg-Witten theorem excludes the presence of charged massless particles with too large spin. However it says nothing on massive particles. Now we introduce the more powerful Coleman-Mandula theorem, which is also a no-go type theorem.

Theorem
1) For any M there are only a finite number of particle types with mass less than M.
2) Any two-particle state undergoes some reaction at almost all energies.
3) The amplitude for elastic two-body scattering are analytic functions of the scattering angle at almost all energies and angles.

With these assumptions, the theorem claims that the only possible Lie algebra of symmetry generator consists of the generators of the Poincaré group, together with possible internal symmetry generators, which commute with the Poincaré generators.

 

A possible explanation of the absence of high-spin particles

With the Coleman-Mandula theorem in hand, let us go back to the problem of the spin. As has mentioned in Section 1, the degrees of freedom between the field and the corresponding state have a nontrivial mismatch when the state has the spin s≤1. For instance, A vector field, which has 4 DOFs, can create a state with spin 1, which has only 3 (or 2 in massless case) DOFs. Another example is the gravity: A metric field has 10 DOFs, while a graviton, as a massless particle, has only 2 polarizations.

We see that as the spin goes higher, the mismatch between fields and states becomes more serious. This result suggests that there exist redundant and unphysical DOFs in fields. To exclude these redundant DOFs, we should impose the gauge symmetry on the fields. Conventionally, these kinds of fields are called gauge fields. It explains why gauge symmetry is necessary.

As we have learned in classical electrodynamics, in a physical theory with gauge symmetry, the gauge field must couple to a conserved current to maintain the gauge invariance. Generally, we can write this coupling term in the Lagrangian as:

(Omitted derivations)

Now the Coleman-Mandula theorem works: The theorem claims that all the conserved charges, or generators of inner symmetries commute with Lorentz generators, hence these charges Q must be scalars and carry no Lorentz indices. Then the current corresponding to such a generator must be a vector J^\mu. so as the field coupled to the current. We conclude that inner symmetries can only offer couplings to a vector fields, which corresponds the spin 1 particle.

The remaining choice of the generators are Lorentz generators. For example, the momentum generator P^\mu, as a vector, produces a conserved current of rank-2 tensor T^{\mu\nu}, which is just the well-known energy-momentum tensor. This tensor couples to gravity, thus make an opportunity for us to detect the spin-2 gravitons. The last choice is angular momentum generator J^{\mu\nu}, which permits a coupling to a rank-3 tensor field, which I haven't heard about yet.

Now the list of symmetry generators is exhausted. We see that no elementary particles with spin higher than 3 can be detected, due to the lack of proper type of interactions.

 

最后是音乐。现代音乐大师Messiaen的钢琴曲“二十圣婴默想”的第十一首。点此下载

它来自Aimard在Teldec的唱片：

切除时间

（本文译自Scientific American 2009年12月号。原作者为Zeeya Merali。仅供学习交流。）

 

牛顿对了？爱因斯坦错了？抽掉时间和空间的联系、回到十九世纪的时间概念，也许可以导致一个新的量子引力理论。

数十年来，物理学家为促成量子力学与万有引力的联姻而费尽心机。与此相反，自然界的其它相互作用力对量子力学则显得很顺从。例如，使用量子力学的方式，电磁力可以由光子的运动来描写。但是，如果你试图用量子化的引力子来描写物体间的万有引力，则会立刻遇到麻烦：因为你得到的任何答案都是无穷大。不过现在，伯克利的加州大学(University of California, Berkeley)的物理学家Petr Hořava认为，他理解了这个问题。这一切，他说，都只是时间问题。

详言之，问题的根源在于爱因斯坦的广义相对论将时间和空间绑在了一起。众所周知，爱因斯坦打破了牛顿理论中绝对时间的概念，亦即时间作为背景按照固定的方式流动的图景。爱因斯坦认为，时间是另一个维度，并和空间一同构成一团可延展的结构，并且，这个结构会被物质弯曲。问题就在于，在量子力学中，时间仍像其在牛顿力学中那样高傲地地位：物质在其中舞动，但从不影响到它。看来，这两种时间的概念并不吻合。

Hořava对此的解答是，在极高的能量下剪断时空间的联系，正如被量子引力统治的宇宙早期那样。他说：“我要回到牛顿理论中时间和空间并不等价的观念。”他同时解释道，在低能下，广义相对论将在这一框架下浮现出来，时间与空间又连为一体。

Hořava将这一“浮现”的过程比喻为某种物质的相变。例如，在低温下，液氦将戏剧性地变成能克服阻力的超流体。事实上，他正是利用相变的数学来构建其理论的。目前看来，这似乎起作用：困扰其它量子引力理论的无穷大在这里被驯服了，而且理论给出了一个行为良好的引力子。此外，它似乎也和量子引力的计算机模拟相吻合。

自一月份Hořava提出这一理论之后，物理学家们就为之而兴奋。11月，他们在安大略省的滑铁卢周界理论物理研究所(Perimeter Institute for Theoretical Physics in Waterloo, Ontario)集会进行讨论。物理学家们尤其注意检查这个理论是否能正确描写我们今天所见的宇宙。因为我们记得，爱因斯坦的广义相对论对水星运动的预言给了牛顿理论决定性的一击。

Hořava的引力能取得相同的成功吗？对此第一个尝试性的回答是肯定的。里斯本大学(University of Lisbon)的Francisico Lobo与合作者发现，该理论与行星运动在某处有很好的吻合。

还有人对Hořava引力给予更大胆的肯定，特别是将它用于解释宇宙之谜的时候。比如说，在大爆炸的奇点处，所有物理规律将失效。McGill大学的Robert Brandenberger在八月份发表于Physical Review D的一片文章中称，如果Hořava引力是对的，那么宇宙并不爆炸，而是进行“反弹”。他说：“一个充满物质的宇宙将会聚集到一个很小、但有限的尺度内，然后再反弹回去，这样就造成了我们今天看到的膨胀中的宇宙。”Brandenberger的计算表明，由这种反弹所致的结果与目前的卫星观测数据吻合。现在，他正在寻找反弹宇宙中有别于大爆炸宇宙的特征信号。

Hořava引力也许还能创造出“暗物质的幻象”，东京大学的宇宙学家向山信治(Shinji Mukohyama)说。在发表于九月份Physical Review D的文章中，他解释道，在某种确定的情形下，Hořava引力子在与通常的物质相互作用时将会产生某种涨落，它将导致引力比广义相对论的预期稍强一点。这一效应使星系显得比它看上去要携带更多的物质。如果这些还不够，韩国全北国立大学(Chonbuk National University)的宇宙学家Mu-In Park则相信，Hořava引力也许可以导致目前宇宙的加速膨胀。当下，这一现象被归因于神秘的暗能量。对此一种具有代表性的解释是，虚空中含有某种内在的且会将宇宙向外推的能量。广义相对论并不能制造出这样的能量，但是根据Park，暗能量能自然地从Hořava引力中涌现出来。

然而，Hořava理论离完美尚远。瑞士联邦技术研究所(Swiss Federal Institute of Technology, EPFL)的量子引力研究者Diego Blas在仔细检查对太阳系的有关计算后已经发现了该理论的潜在缺陷。大多数物理学家研究了理想情形，例如，他们假设太阳和地球是球体。Blas解释说：“我们检验了一种更实际的情形，即认为太阳几乎是、但并不完全是球形。”在这两种情形中，广义相对论都能给出相同的答案。但是Hořava引力在现实情形下的结果则有极大的偏差。

与EPFL的Sergei M. Sibiryakov以及CERN的Oriol Pujolas一道，Blas将Hořava引力重新系统化，使它与广义相对论取得一致。Sibiryakov在九月份法国塔卢瓦尔的一次会议上展示了他们小组的模型。

Hořava欢迎各种修改。“当我提出它时，我并没有声称自己得到了最终理论，”他说，“我希望其他人检验它、改进它。”

CERN的一位量子引力专家Gia Dvali则对此保持谨慎。几年前，他为解释暗能量而使用了类似的技巧，亦即将时间和空间分离开来。但是他放弃了这个模型，因为它允许信息以超光速传播。

“我的直觉是，任何此类模型都会带有我们不希望有的副作用，”Dvali认为，“但是如果他们发现了一个并非如此的版本，那么这个理论就必须被认真对待。”（完）

今天的音乐是现代音乐大师Boulez作于1997年的Anthemes 2（点此下载）。神奇的音响世界，妙不可言。它来自DG的唱片：