【广告】规范场论：清华大学2010年春季学期

我的导师何红建老师下学期继续开讲“规范场论”课程。他今天将新修改的教学大纲发给我们让我们帮忙宣传：

这是他的教学大纲

我大致看过一遍。相比之前的内容，新增了：

1）暴涨的有效理论(Effective theory for inflation)，我猜应该是与Weinberg近年来的工作有关；

2) 弯曲时空背景的量子场，特别是旋量场的构造，这与我们组里这学期的工作有关；

3) 暗物质与LHC。这部分内容完全是新闻式的。相关实验正在进行中。

几条相关链接：

何红建老师的简介

更多关于何老师的内容（这个有点囧）

百度百科

 

各种无穷大

今天，物理学家（至少理论家）对无穷大的出现早已处之泰然。物理理论中到处都可以有无穷大。比如，如果你坚持牛顿引力的平方反比律，那么当你越来越接近一个质点时，你感受到的引力就会趋于无穷大。

一般来说，出现无穷大就意味着理论在某种意义上的失效。这种失效可以来自于一些不合适的假定。在上例中，引力趋于无穷大是因为我们假设了“质点”的概念。我们之所以谈论质点，就是假定了它的尺寸对我们感兴趣的问题来说可以忽略不计。比如，当我们讨论月球绕地球的运行时，将月球视为质点，就是有效的假设。但对于登月的宇航员，再将月球看作质点，就是无稽之谈。换言之，月球的尺寸在我们越来越靠近它的时候变得越来越不可忽略，因此早在引力变成无穷大之前，月球作为质点的假设就崩溃了。真实的自然因之而幸免于无穷大。

无穷大似乎总是人造的。仍用上例。引力变成无穷大，是因为我们在理论中放进了一个密度无穷大的物体（即质点）。当然，我们可以抛开这个也许已经使你感到无聊的例子，去关注一些更有趣事情。比如，相变过程中某些热力学参量趋于无穷，是因为我们事先假定了系统本身为无穷大（即所谓的热力学极限）。比如，恒星坍缩成黑洞，在其中心形成了一个密度无穷大的“奇点”，是因为我们假定了时空本身的连续性，请注意，连续性本身就是一种无穷大！还有，微扰量子场论中“费曼图”出现了无穷大，是因为我们假定了“场”本身具有无穷大的自由度。

“无穷大”的确使人难以理解，也许它纯粹是寄居于人类理性中的魔鬼，而并非自然界中的真实存在。比如我们可以问，自然界真的存在实数吗？我倾向于否定的回答。至少就我们目前所知，时间和空间本身不具有如同实数集那样的完备性。

不过，无穷大的假设为理论研究带来的巨大的实惠。如果没有质点的概念，牛顿力学的复杂程度将是不可想象的。几百年来，人们发明了许多工具来驯服无穷大的魔鬼，在今天看来成果丰硕。物理学家可以悠然自得地玩弄delta函数，以享受它为计算带来的方便，而不去理会数学家的那一套广义函数的复杂论证。就如同当年的牛顿玩弄他的微积分，而不用关心他其后数百年分析学家的种种努力。当然，这一切都与无穷大有关。

然而形势并非一片大好。自然总在为我们制造种种困惑，或者毋宁说是我们总在自找麻烦，而这些困惑和麻烦往往与无穷大有关。以下几个有趣的例子，展示了（近似的）无穷大对物理所造成的某些极富戏剧性的影响。我且民科一把，以逃避所有的细节。

 

衍生的时间箭头？

第一个例子是热力学。

热力学处理的对象通常是由巨量粒子构成的系统。对其中的每一个粒子逐一描述显然是一种不合理的做法。我们可以有两种对策：一是直接总结现象规律，而是寻找某种假设以解释这些规律。前者即为热力学，后者就是统计物理。
热力学中最引人注目的地方必然是热力学第二定律。这个定律关乎过程的可逆性。也就是说，它引入了一个时间的箭头。

掌握粒子自身运动的物理（量子力学）本身是时间反演不变的，因此热力学时间箭头是一个衍生(emerge)的效果。衍生，就是说在微观层次上不曾有的某种规律，到了大尺度的条件下“自发”地出现。“衍生”本身也许并不使我们感到意外，我们真正意外的是衍生出了一个时间的方向！

我们已经提到，时间的方向与过程的不可逆性紧密相关。为什么过程不可逆？比如那个被举滥的例子：为什么玻璃杯只能掉到地板上摔碎，而碎玻璃不能自发地拼成一个玻璃杯？

我们可以将此解释为某种信息的丢失。极粗略地说，热力学第二定律断言熵不减。熵本身可以被视作信息的丢失，因而热二律就成为：信息只能丢失，不会增加。

然而大自然真正丢弃了信息吗？至少我目前不这样认为：当你烧掉一本书时，书中的信息似乎丢失了，但它们其实仍然被记录在作为燃烧产物的气体分子的位置和动量等信息中。此时，如果你能精确地摆置此系统中的每一颗气体分子，使得它们的状态精确地成为前者的时间反演，我相信它们还会聚集在一起拼成一本完好的书。

类似的讨论可以用来解释为什么我们有可能看见黑洞，而不太可能找到白洞。因为：黑洞作为恒星演化的结果，可以自然地出现；但是，白洞，作为黑洞解的严格的时间反演，需要极其苛刻的初始条件，以至于它的形成本身就像气体自动拼成书一样不可能。

 

对称性自发破缺？

对称性自发破缺是今天理论物理的流行概念。其实它本身不难理解：想象这样一根筷子，它本身具有完好的轴对称。当你同样以完好地轴对称的方式将它竖立在桌面上，然后松手。接下来发生了什么？筷子倒了，倒向某个特定的方向。从而，轴对称遭到破坏。

这个过于简化的例子已经勾勒出了对称性自发破缺的基本特征：掌管系统的规律本身具有良好的对称性（牛顿定律本身并没有对筷子的倒向持有某种偏好），但是存在许多不同的能量最小、最稳定的“基态”。由于筷子在跌落的时候总得选择一个方向，所以当它选定一个基态时，原有的对称性就丧失了。这就是对称性自发破缺的基本含义。

到这里似乎问题不大。但是如果我们将它运用到量子力学中呢？请注意，在量子力学中，态是可以叠加的。所以你会问：如果我们让系统选在所有基态的叠加态上，会发生什么呢？我们完全可以选择一个保留对称性的叠加方式，使得系统的基态根本就不破缺这种对称性！

让我稍稍进入细节：请考虑一个一维势阱V(x)=-a x^2+bx^4，它有两个坑：x=±x_0，对应于两个基态A和B。的确，当系统落在这两个态中的任意一个时，关于x轴的反射对称性消失了，对称性自发破缺；然而如果将基态取为A+B呢？我们立刻发现：对称性没有破缺！

无穷大在这里起作用了。关键在于，对于有限大的系统，量子涨落倾向于将对称性恢复回来，一个对称性被破缺的基态随时间演化，会回到一个恢复了对称性的基态并停留于此，所以对称性没有自发破缺；但对于无穷大系统，这种演化需要无穷长的时间，以致真正的基态就是对称性已被破缺的态。

如果我们一开始就系统摆置在保持对称性的基态上呢？对于一个无穷大系统，答案是任何微小的扰动都会将系统推到一个破坏对称性的基态上。请注意，虽然所有的基态能量都相同，但并非所有的基态都稳定！只有那些能将几乎所有扰动算子对角化的状态才是真正稳定的。

在量子世界中，只有无穷大系统才有真正的对称性自发破缺。所以，量子场论中的对称性破缺在此不受威胁：因为场论本身就是无穷多自由度的量子理论。

 

薛定谔的猫？

以上关于对称性自发破缺的讨论让我们回想起薛定谔的猫。这是量子力学中关于测量的问题。在量子力学经典的哥本哈根解释中，量子态在一次“测量”过程中所经历的演化是非酉的(non-unitary)，也就是不可逆的。在此过程中，量子态“随机”坍缩到测量算子的某一个本征态上，不商量，不解释。

这自然使物理学家感到难堪，因为我们总想寻求某种解释，“通过和平谈判的方式解决问题”。所以，物理学家为此找到了退相干(decoherence)。其基本想法是，考虑测量的过程是如何发生的。测量，它其实是被测量对象，作为一个量子系统，与测量者发生相互作用的过程。用薛定谔本人热爱的术语来说，就是被测量的量子态与环境的量子态发生了纠缠。请注意：完整的描述应该包括被测系统与环境耦合在一起的大系统，但是这是我们无法做到的，因为环境本身（也许就是整个宇宙）的量子态是无法精确描述的。我们所能观察的仅仅是被测系统本身。所以我们所能做的描述本身就含有信息的丢失。这正是不可逆的来源！

（希望以下讨论不会激怒动物权利者）
如果我们照此讨论薛定谔的猫，我们就会碰到与对称性自发破缺类似的问题。请注意，我们此处关心的问题不在于，当我们看到它之前它到底是死还是活，而是说，为什么它一定是非死即活，为什么它不能塌缩到一个死与活的叠加态上。

你会发现这与对称性破缺的情况非常相似。那里，我们的问题是，为什么系统会停在一个对称性破缺的态，而不是这些态的叠加态。因此，我姑且类比上面的解释，对于“猫”这种宏观的、近似无穷大的系统，真正稳定的、能几乎对角化所有测量算子的状态，只有死和活两种。

---------------------------------

不难发现在我们的讨论中无穷大所起的作用。总结成一句话就是：我们的各种困惑来自于信息的丢失，而这信息的丢失来自于我们在一个巨量的、趋近于无穷大系统面前所表现出的无能为力。

今天的音乐，是Scarlatti的键盘奏鸣曲K213。

Pletnev用钢琴所作的现代化演绎让我们感受到Scarlatti的小品中那些超越时间的意义。点此下载。它来自Virgin的唱片：

为什么看不见高自旋粒子

 

Why high-spin particles are not seen yet?

 

(Some
derivations have been removed since it's not easy to input mathematical
equations here. To see the full text please download the PDF file
attached. Here is the LINK.)

 

Introduction

Historically, the concept of spin was introduced by Uhlenbeck and Goudsmit in 1925, in order to explain somewhat weird result of the well-known Stern-Gerlach experiment. They hypothesized that, every electron has an intrinsic angular momentum of \hbar/2. At that time, however, the origin of this intrinsic angular momentum was not clear. Naturally, one might identify the spin of an electron as the rotation along the axis passing through its center. But this does not work, as posed by Lorentz, who showed that the linear velocity of the “surface” of an electron will exceed the speed of light, if such a viewpoint is taken. This is evidently forbidden by the theory of relativity.

The rigorous and systematical treatment of the theory of spin was first given by Wigner, who developed his theory in the frame of the quantum mechanics. As we know, the central idea of the quantum mechanics is the quantum state and the Hilbert space. If a particle can be represented by a state in the Hilbert space, then the symmetry that governs the motion of the particle will also acts on the Hilbert space. We know that symmetry can be described mathematically by a group, thus the action of the symmetry on the Hilbert space can be accordingly described by the representation of the group.

The crucial thing here is that the representation of a symmetry group on a physical Hilbert space must be a unitary (or anti-unitary) representation. This is the famous Wigner theorem. A direct consequence of this theorem on particles, is the fact that a massive particle with spin s has 2s+1 degrees of freedom, while a massless particle always has two degrees of freedom, which has nothing to do with its spin. In principle, the spins of both massive and massless particles can take any positive integer and half-integer value, including zero.

On the other hand, in quantum field theory, particles are created by field operators, which can be classified by their transformation properties under Lorentz transformations. The different classes of fields are known as scalar, vector, or tensor, etc. Of course, they are also the representations of the symmetry group of the space-time, but these representations are quite different from ones carried by states. Since the former is finite-dimensional and non-unitary, while the latter is infinite-dimensional and unitary. This fact leads to a problematic result: the degree of freedom (DOF) of the field will in general be different from the DOF of the state (or particle) created by that field. To fully understand this problem, we will introduce two interesting theorems. They are known as “no-go” theorems which mean the statement of the theorems are negative.

 

Weinberg-Witten Theorem

The Weinberg-Witten theorem mainly deals with the massless particles. The formal statements of the theorem are as follows:

Theorem 1: A theory that allows the construction of a Lorentz-covariant conserved four-vector current J^\mu cannot contain massless particles of spin j>1/2 with nonvanishing values of the conserved charge \int\di^3x J^0.

Theorem 2: A theory that allows the construction of a conserved Lorentz covariant energy-momentum tensor T^{\mu\nu} cannot contain massless particles of spin j>1.

The proof of the theorem is straightforward. The strategy is to consider the S-matrix elements of the conserved current.

(To see the details of the proof, please download the PDF file attached.)

Coleman-Mandula Theorem

The Weinberg-Witten theorem excludes the presence of charged massless particles with too large spin. However it says nothing on massive particles. Now we introduce the more powerful Coleman-Mandula theorem, which is also a no-go type theorem.

Theorem
1) For any M there are only a finite number of particle types with mass less than M.
2) Any two-particle state undergoes some reaction at almost all energies.
3) The amplitude for elastic two-body scattering are analytic functions of the scattering angle at almost all energies and angles.

With these assumptions, the theorem claims that the only possible Lie algebra of symmetry generator consists of the generators of the Poincaré group, together with possible internal symmetry generators, which commute with the Poincaré generators.

 

A possible explanation of the absence of high-spin particles

With the Coleman-Mandula theorem in hand, let us go back to the problem of the spin. As has mentioned in Section 1, the degrees of freedom between the field and the corresponding state have a nontrivial mismatch when the state has the spin s≤1. For instance, A vector field, which has 4 DOFs, can create a state with spin 1, which has only 3 (or 2 in massless case) DOFs. Another example is the gravity: A metric field has 10 DOFs, while a graviton, as a massless particle, has only 2 polarizations.

We see that as the spin goes higher, the mismatch between fields and states becomes more serious. This result suggests that there exist redundant and unphysical DOFs in fields. To exclude these redundant DOFs, we should impose the gauge symmetry on the fields. Conventionally, these kinds of fields are called gauge fields. It explains why gauge symmetry is necessary.

As we have learned in classical electrodynamics, in a physical theory with gauge symmetry, the gauge field must couple to a conserved current to maintain the gauge invariance. Generally, we can write this coupling term in the Lagrangian as:

(Omitted derivations)

Now the Coleman-Mandula theorem works: The theorem claims that all the conserved charges, or generators of inner symmetries commute with Lorentz generators, hence these charges Q must be scalars and carry no Lorentz indices. Then the current corresponding to such a generator must be a vector J^\mu. so as the field coupled to the current. We conclude that inner symmetries can only offer couplings to a vector fields, which corresponds the spin 1 particle.

The remaining choice of the generators are Lorentz generators. For example, the momentum generator P^\mu, as a vector, produces a conserved current of rank-2 tensor T^{\mu\nu}, which is just the well-known energy-momentum tensor. This tensor couples to gravity, thus make an opportunity for us to detect the spin-2 gravitons. The last choice is angular momentum generator J^{\mu\nu}, which permits a coupling to a rank-3 tensor field, which I haven't heard about yet.

Now the list of symmetry generators is exhausted. We see that no elementary particles with spin higher than 3 can be detected, due to the lack of proper type of interactions.

 

最后是音乐。现代音乐大师Messiaen的钢琴曲“二十圣婴默想”的第十一首。点此下载

它来自Aimard在Teldec的唱片：

切除时间

（本文译自Scientific American 2009年12月号。原作者为Zeeya Merali。仅供学习交流。）

 

牛顿对了？爱因斯坦错了？抽掉时间和空间的联系、回到十九世纪的时间概念，也许可以导致一个新的量子引力理论。

数十年来，物理学家为促成量子力学与万有引力的联姻而费尽心机。与此相反，自然界的其它相互作用力对量子力学则显得很顺从。例如，使用量子力学的方式，电磁力可以由光子的运动来描写。但是，如果你试图用量子化的引力子来描写物体间的万有引力，则会立刻遇到麻烦：因为你得到的任何答案都是无穷大。不过现在，伯克利的加州大学(University of California, Berkeley)的物理学家Petr Hořava认为，他理解了这个问题。这一切，他说，都只是时间问题。

详言之，问题的根源在于爱因斯坦的广义相对论将时间和空间绑在了一起。众所周知，爱因斯坦打破了牛顿理论中绝对时间的概念，亦即时间作为背景按照固定的方式流动的图景。爱因斯坦认为，时间是另一个维度，并和空间一同构成一团可延展的结构，并且，这个结构会被物质弯曲。问题就在于，在量子力学中，时间仍像其在牛顿力学中那样高傲地地位：物质在其中舞动，但从不影响到它。看来，这两种时间的概念并不吻合。

Hořava对此的解答是，在极高的能量下剪断时空间的联系，正如被量子引力统治的宇宙早期那样。他说：“我要回到牛顿理论中时间和空间并不等价的观念。”他同时解释道，在低能下，广义相对论将在这一框架下浮现出来，时间与空间又连为一体。

Hořava将这一“浮现”的过程比喻为某种物质的相变。例如，在低温下，液氦将戏剧性地变成能克服阻力的超流体。事实上，他正是利用相变的数学来构建其理论的。目前看来，这似乎起作用：困扰其它量子引力理论的无穷大在这里被驯服了，而且理论给出了一个行为良好的引力子。此外，它似乎也和量子引力的计算机模拟相吻合。

自一月份Hořava提出这一理论之后，物理学家们就为之而兴奋。11月，他们在安大略省的滑铁卢周界理论物理研究所(Perimeter Institute for Theoretical Physics in Waterloo, Ontario)集会进行讨论。物理学家们尤其注意检查这个理论是否能正确描写我们今天所见的宇宙。因为我们记得，爱因斯坦的广义相对论对水星运动的预言给了牛顿理论决定性的一击。

Hořava的引力能取得相同的成功吗？对此第一个尝试性的回答是肯定的。里斯本大学(University of Lisbon)的Francisico Lobo与合作者发现，该理论与行星运动在某处有很好的吻合。

还有人对Hořava引力给予更大胆的肯定，特别是将它用于解释宇宙之谜的时候。比如说，在大爆炸的奇点处，所有物理规律将失效。McGill大学的Robert Brandenberger在八月份发表于Physical Review D的一片文章中称，如果Hořava引力是对的，那么宇宙并不爆炸，而是进行“反弹”。他说：“一个充满物质的宇宙将会聚集到一个很小、但有限的尺度内，然后再反弹回去，这样就造成了我们今天看到的膨胀中的宇宙。”Brandenberger的计算表明，由这种反弹所致的结果与目前的卫星观测数据吻合。现在，他正在寻找反弹宇宙中有别于大爆炸宇宙的特征信号。

Hořava引力也许还能创造出“暗物质的幻象”，东京大学的宇宙学家向山信治(Shinji Mukohyama)说。在发表于九月份Physical Review D的文章中，他解释道，在某种确定的情形下，Hořava引力子在与通常的物质相互作用时将会产生某种涨落，它将导致引力比广义相对论的预期稍强一点。这一效应使星系显得比它看上去要携带更多的物质。如果这些还不够，韩国全北国立大学(Chonbuk National University)的宇宙学家Mu-In Park则相信，Hořava引力也许可以导致目前宇宙的加速膨胀。当下，这一现象被归因于神秘的暗能量。对此一种具有代表性的解释是，虚空中含有某种内在的且会将宇宙向外推的能量。广义相对论并不能制造出这样的能量，但是根据Park，暗能量能自然地从Hořava引力中涌现出来。

然而，Hořava理论离完美尚远。瑞士联邦技术研究所(Swiss Federal Institute of Technology, EPFL)的量子引力研究者Diego Blas在仔细检查对太阳系的有关计算后已经发现了该理论的潜在缺陷。大多数物理学家研究了理想情形，例如，他们假设太阳和地球是球体。Blas解释说：“我们检验了一种更实际的情形，即认为太阳几乎是、但并不完全是球形。”在这两种情形中，广义相对论都能给出相同的答案。但是Hořava引力在现实情形下的结果则有极大的偏差。

与EPFL的Sergei M. Sibiryakov以及CERN的Oriol Pujolas一道，Blas将Hořava引力重新系统化，使它与广义相对论取得一致。Sibiryakov在九月份法国塔卢瓦尔的一次会议上展示了他们小组的模型。

Hořava欢迎各种修改。“当我提出它时，我并没有声称自己得到了最终理论，”他说，“我希望其他人检验它、改进它。”

CERN的一位量子引力专家Gia Dvali则对此保持谨慎。几年前，他为解释暗能量而使用了类似的技巧，亦即将时间和空间分离开来。但是他放弃了这个模型，因为它允许信息以超光速传播。

“我的直觉是，任何此类模型都会带有我们不希望有的副作用，”Dvali认为，“但是如果他们发现了一个并非如此的版本，那么这个理论就必须被认真对待。”（完）

今天的音乐是现代音乐大师Boulez作于1997年的Anthemes 2（点此下载）。神奇的音响世界，妙不可言。它来自DG的唱片：