各种无穷大

今天，物理学家（至少理论家）对无穷大的出现早已处之泰然。物理理论中到处都可以有无穷大。比如，如果你坚持牛顿引力的平方反比律，那么当你越来越接近一个质点时，你感受到的引力就会趋于无穷大。

一般来说，出现无穷大就意味着理论在某种意义上的失效。这种失效可以来自于一些不合适的假定。在上例中，引力趋于无穷大是因为我们假设了“质点”的概念。我们之所以谈论质点，就是假定了它的尺寸对我们感兴趣的问题来说可以忽略不计。比如，当我们讨论月球绕地球的运行时，将月球视为质点，就是有效的假设。但对于登月的宇航员，再将月球看作质点，就是无稽之谈。换言之，月球的尺寸在我们越来越靠近它的时候变得越来越不可忽略，因此早在引力变成无穷大之前，月球作为质点的假设就崩溃了。真实的自然因之而幸免于无穷大。

无穷大似乎总是人造的。仍用上例。引力变成无穷大，是因为我们在理论中放进了一个密度无穷大的物体（即质点）。当然，我们可以抛开这个也许已经使你感到无聊的例子，去关注一些更有趣事情。比如，相变过程中某些热力学参量趋于无穷，是因为我们事先假定了系统本身为无穷大（即所谓的热力学极限）。比如，恒星坍缩成黑洞，在其中心形成了一个密度无穷大的“奇点”，是因为我们假定了时空本身的连续性，请注意，连续性本身就是一种无穷大！还有，微扰量子场论中“费曼图”出现了无穷大，是因为我们假定了“场”本身具有无穷大的自由度。

“无穷大”的确使人难以理解，也许它纯粹是寄居于人类理性中的魔鬼，而并非自然界中的真实存在。比如我们可以问，自然界真的存在实数吗？我倾向于否定的回答。至少就我们目前所知，时间和空间本身不具有如同实数集那样的完备性。

不过，无穷大的假设为理论研究带来的巨大的实惠。如果没有质点的概念，牛顿力学的复杂程度将是不可想象的。几百年来，人们发明了许多工具来驯服无穷大的魔鬼，在今天看来成果丰硕。物理学家可以悠然自得地玩弄delta函数，以享受它为计算带来的方便，而不去理会数学家的那一套广义函数的复杂论证。就如同当年的牛顿玩弄他的微积分，而不用关心他其后数百年分析学家的种种努力。当然，这一切都与无穷大有关。

然而形势并非一片大好。自然总在为我们制造种种困惑，或者毋宁说是我们总在自找麻烦，而这些困惑和麻烦往往与无穷大有关。以下几个有趣的例子，展示了（近似的）无穷大对物理所造成的某些极富戏剧性的影响。我且民科一把，以逃避所有的细节。

 

衍生的时间箭头？

第一个例子是热力学。

热力学处理的对象通常是由巨量粒子构成的系统。对其中的每一个粒子逐一描述显然是一种不合理的做法。我们可以有两种对策：一是直接总结现象规律，而是寻找某种假设以解释这些规律。前者即为热力学，后者就是统计物理。
热力学中最引人注目的地方必然是热力学第二定律。这个定律关乎过程的可逆性。也就是说，它引入了一个时间的箭头。

掌握粒子自身运动的物理（量子力学）本身是时间反演不变的，因此热力学时间箭头是一个衍生(emerge)的效果。衍生，就是说在微观层次上不曾有的某种规律，到了大尺度的条件下“自发”地出现。“衍生”本身也许并不使我们感到意外，我们真正意外的是衍生出了一个时间的方向！

我们已经提到，时间的方向与过程的不可逆性紧密相关。为什么过程不可逆？比如那个被举滥的例子：为什么玻璃杯只能掉到地板上摔碎，而碎玻璃不能自发地拼成一个玻璃杯？

我们可以将此解释为某种信息的丢失。极粗略地说，热力学第二定律断言熵不减。熵本身可以被视作信息的丢失，因而热二律就成为：信息只能丢失，不会增加。

然而大自然真正丢弃了信息吗？至少我目前不这样认为：当你烧掉一本书时，书中的信息似乎丢失了，但它们其实仍然被记录在作为燃烧产物的气体分子的位置和动量等信息中。此时，如果你能精确地摆置此系统中的每一颗气体分子，使得它们的状态精确地成为前者的时间反演，我相信它们还会聚集在一起拼成一本完好的书。

类似的讨论可以用来解释为什么我们有可能看见黑洞，而不太可能找到白洞。因为：黑洞作为恒星演化的结果，可以自然地出现；但是，白洞，作为黑洞解的严格的时间反演，需要极其苛刻的初始条件，以至于它的形成本身就像气体自动拼成书一样不可能。

 

对称性自发破缺？

对称性自发破缺是今天理论物理的流行概念。其实它本身不难理解：想象这样一根筷子，它本身具有完好的轴对称。当你同样以完好地轴对称的方式将它竖立在桌面上，然后松手。接下来发生了什么？筷子倒了，倒向某个特定的方向。从而，轴对称遭到破坏。

这个过于简化的例子已经勾勒出了对称性自发破缺的基本特征：掌管系统的规律本身具有良好的对称性（牛顿定律本身并没有对筷子的倒向持有某种偏好），但是存在许多不同的能量最小、最稳定的“基态”。由于筷子在跌落的时候总得选择一个方向，所以当它选定一个基态时，原有的对称性就丧失了。这就是对称性自发破缺的基本含义。

到这里似乎问题不大。但是如果我们将它运用到量子力学中呢？请注意，在量子力学中，态是可以叠加的。所以你会问：如果我们让系统选在所有基态的叠加态上，会发生什么呢？我们完全可以选择一个保留对称性的叠加方式，使得系统的基态根本就不破缺这种对称性！

让我稍稍进入细节：请考虑一个一维势阱V(x)=-a x^2+bx^4，它有两个坑：x=±x_0，对应于两个基态A和B。的确，当系统落在这两个态中的任意一个时，关于x轴的反射对称性消失了，对称性自发破缺；然而如果将基态取为A+B呢？我们立刻发现：对称性没有破缺！

无穷大在这里起作用了。关键在于，对于有限大的系统，量子涨落倾向于将对称性恢复回来，一个对称性被破缺的基态随时间演化，会回到一个恢复了对称性的基态并停留于此，所以对称性没有自发破缺；但对于无穷大系统，这种演化需要无穷长的时间，以致真正的基态就是对称性已被破缺的态。

如果我们一开始就系统摆置在保持对称性的基态上呢？对于一个无穷大系统，答案是任何微小的扰动都会将系统推到一个破坏对称性的基态上。请注意，虽然所有的基态能量都相同，但并非所有的基态都稳定！只有那些能将几乎所有扰动算子对角化的状态才是真正稳定的。

在量子世界中，只有无穷大系统才有真正的对称性自发破缺。所以，量子场论中的对称性破缺在此不受威胁：因为场论本身就是无穷多自由度的量子理论。

 

薛定谔的猫？

以上关于对称性自发破缺的讨论让我们回想起薛定谔的猫。这是量子力学中关于测量的问题。在量子力学经典的哥本哈根解释中，量子态在一次“测量”过程中所经历的演化是非酉的(non-unitary)，也就是不可逆的。在此过程中，量子态“随机”坍缩到测量算子的某一个本征态上，不商量，不解释。

这自然使物理学家感到难堪，因为我们总想寻求某种解释，“通过和平谈判的方式解决问题”。所以，物理学家为此找到了退相干(decoherence)。其基本想法是，考虑测量的过程是如何发生的。测量，它其实是被测量对象，作为一个量子系统，与测量者发生相互作用的过程。用薛定谔本人热爱的术语来说，就是被测量的量子态与环境的量子态发生了纠缠。请注意：完整的描述应该包括被测系统与环境耦合在一起的大系统，但是这是我们无法做到的，因为环境本身（也许就是整个宇宙）的量子态是无法精确描述的。我们所能观察的仅仅是被测系统本身。所以我们所能做的描述本身就含有信息的丢失。这正是不可逆的来源！

（希望以下讨论不会激怒动物权利者）
如果我们照此讨论薛定谔的猫，我们就会碰到与对称性自发破缺类似的问题。请注意，我们此处关心的问题不在于，当我们看到它之前它到底是死还是活，而是说，为什么它一定是非死即活，为什么它不能塌缩到一个死与活的叠加态上。

你会发现这与对称性破缺的情况非常相似。那里，我们的问题是，为什么系统会停在一个对称性破缺的态，而不是这些态的叠加态。因此，我姑且类比上面的解释，对于“猫”这种宏观的、近似无穷大的系统，真正稳定的、能几乎对角化所有测量算子的状态，只有死和活两种。

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不难发现在我们的讨论中无穷大所起的作用。总结成一句话就是：我们的各种困惑来自于信息的丢失，而这信息的丢失来自于我们在一个巨量的、趋近于无穷大系统面前所表现出的无能为力。

今天的音乐，是Scarlatti的键盘奏鸣曲K213。

Pletnev用钢琴所作的现代化演绎让我们感受到Scarlatti的小品中那些超越时间的意义。点此下载。它来自Virgin的唱片：