对称性闲话（续）

在上篇日志结束的时候，我们得到这样的印象：没有理由认为经验世界中的对称性是严格成立的，因为我们甚至并不知道在经验世界中“严格”是否有意义。而另一方面，凡是可被经验的对称性一定可以被可观测的物理效应所破坏，否则，我们将无法通过经验判断这种对称性是否起源于语言的冗余。

为了更好地理解这个陈述，让我们考虑一个“完美的球体”。教科书给予我们的成见是，人们称这个球体具有球对称，是因为它在旋转变换下保持不变。可是，仔细考虑之后，你会发现，为了定义旋转变换，我们得预先在球上画好经线和纬线，也就是建立球面上的坐标系。通过指定经纬网格位置的变化，我们才能说对球体施加了一次旋转变换。

建立球面上的坐标系，这在理论上没有困难。真正至关重要的问题是，这个球体是否允许我们用一支记号笔在它的表面上将这个坐标网格画出来？——言下之意，我们是否可以“物理地”破坏球体的球对称？

如果这个问题的答案是否定的，也就是说，如果动用一切手段都无法确知这个球究竟是否发生了转动，那这将意味着，该球体的任何位形在物理上都是等价的——请注意，这是一个相当挑战直觉的情形。因为在此时，我们无法确知这个球是否发生了绕球心的转动，从而，其自转角动量将是不可测量的——你瞧，这是一个彻底的经验主义者必然会得到的结论。


实际上，从日常生活也能发展出类似的但不那么挑战直觉的例子——考虑镜子中的像。请站在一面镜子前，设想它是无穷大的平面镜，暂时忘掉所有关于平面镜成像原理的光学知识，暂时忽略所有我们世界中的所有手性。（这里的手性是指，绝大多数人心脏都在左侧，参与生物活动的葡萄糖都是右旋(D构型)，我们看到的中微子都是左手，等等。）此时，你所面对的世界就是一个具有镜像对称的世界。并且，动用一切物理手段，你都无法区分镜子的里和外，因为赖以作此区分的手性已经被我们忽略了——现在，你怎么知道自己不是镜子那边的你的像呢？换言之，我们将无法通过观察判断出一个物理过程究竟发生在镜子的哪一边。

所以我们有时也会见到这样的表述，即：对称性就意味着不可观测量的存在。

而我倾向于将这种情形下出现的对称性都叫做“规范对称性”。极其粗略地讲，规范对称性是非物理的对称性。这里的“非物理”应在存在着不可观测量的意义下理解。

明白了这些，你可以很快举出各种规范对称性的例子：能量零点的任意性（这里暂且不考虑引力）；量子力学中波函数相位的任意性；全同粒子编号间的交换对称性，等等。它们都和某些不可观测量相连。

不过为了避免误解，需要注意的是，当人们提到规范理论的时候，多数情况是指连续局部规范对称性。那些与基本相互作用相关的对称性即属于此类。

为理解基本相互作用中的规范对称性从何而来，让我们考虑一个简化的图像。一般而言，相互作用由无质量的、自旋为1（即螺旋度为1）的粒子传递。在3+1维时空中，这种粒子只有两个独立的极化方向（比如，光只有两个独立的偏振方向）。而量子场论中，与这种粒子的对应的量子场是矢量场（即规范场），它在3+1维时空中有4个独立的极化方向。这四个极化中，有1个对应于自旋0，3个对应于自旋1。如果用这三个自旋1的极化分量去描写一个本身只有两个独立极化的自旋1粒子，显然会多出来一个。这个自由度在描写零质量自旋1的粒子时没有任何对应——它就是规范对称性的来源。这个图像之所以是简化的，是因为我们略去了规范场自身的相互作用。用行话来说，后一种情形对应于非阿贝尔（non-abelian）规范场。

量子场论是一个局域的理论，在每个时空点上，场量的自由度都有冗余，因此相应的规范对称性在每个时空点上分别存在，这就是局域规范对称性中“局域”一词的所指。它意味着此时的规范对称性是非常大的。对于电磁场来说，这可以很不严格地写成U(1)×R^4。这样大的对称性会对系统的Hilbert空间带来本质的影响。如若这种对称性被破缺，后果很严重。所以，人们一般倾向于认为这种对称性是严格的（因为它的确来自语言的冗余），而那些整体对称性，包括上篇日志中提到的Lorentz对称性，一般是近似的（因为它们毕竟是物理世界真实的对称性）。

有人也许会对我们语言的冗余耿耿于怀，他们会问：倘若改用一种精炼的语言去描述我们的理论，是否就可以避免这种冗余、继而将规范对称性从我们的字典中驱逐出去呢？——这当然可以，但是要付出代价。就上面提到的规范场论，代价是：或者破坏时空对称性、或者容许鬼（ghost）的出现。其中，前者自然是人们不希望的，而后者是否会使人感到头痛，取决于你是否怕鬼。在规范场论的现代版本中，人们已经能够很好地理解鬼并控制它。我们在Hilbert空间中辟出一片空地专门供它们游荡，同时也能阻止它们出现在描写真实世界的区域中。这在场论中叫做BRST方法——四个字母分别来自四位物理学家的姓名。

至于为什么避免语言的冗余就可能破坏时空对称性，这可以用一个比规范场论简单地多的模型来理解：考虑一个点粒子在时空中的运动。我们知道，自由粒子沿测地线运动。对此可以用两种方法描写之。一是参数方程。取参数为s，在3+1维时空中，这相当于方程组t=t(s)， x=x(s)， y=y(s)， z=z(s)。这个理论自然具有一种规范对称性——参数的任意选取不改变物理。同时，这种描述还是Lorentz协变的——在Lorentz变换下上面的方程组形式不变。此时的规范对称性的确是局域对称性，因为重参数化可以由函数s’=s’(s)在测地线上逐点确定。同时，它的确来自与语言的冗余：即出现了多余的参数s。如果我们从上面的方程组中将它消去，并得到一组新的方程：x=x(t)， y=y(t)， z=z(t)，语言的冗余自然消失，但方程的Lorentz协变性也随即消失。

对称性闲话一则

（按：顾颖飞同学在“饥渴乐园”开了一个物理讨论小组，要我为他的“对称性”专题写点东西。他认为我之前的日志对低年级同学不够科普，故有此文。当然，这不意味着我对读者的物理背景没有任何假设。）

无论如何强调对称性在现代物理学中的作用都不过分。这不难理解：物理的目标之一似乎就是恰当地将纷繁复杂的自然现象约化为简单的规律。而对物理理论的审美态度大概正是来源于这种约化过程与艺术活动的相似性。在此过程中，对称性恰恰是一种约化现象的快捷方式，因而极容易激发人们的灵感，无论是科学的还是艺术的。

然而在这里继续解释什么是对称性将显得冗余，因为已经有太多介绍对称性的初级读物了，且其中不乏大师的精彩之作，而我不认为自己会比他们解释得更好。所以让我们以经验主义的姿态快速进入具体问题。

对于单个物体来说，对称性的存在容易确证。比如，观察一粒食盐晶体（如果能买到的话），你能发现某种对称性，尽管是近似的。事实上，如果仅仅关注这类例子，在现实世界中大概是没有完美的对称性。即使是实验室中磨出来的号称世界上“最圆的”硅球
，（图1）也不会完美。



（图1：为了更好地定义“千克”所磨制的硅球，号称是世界上最圆的球。即使如此，它也不是完美的。）


可是在理论物理中我们时常见到“时间平移对称性”，“空间平移对称性”之类的短语。初看上去这似乎荒诞不经：如果这个世界真是时间平移不变的，那房价自然是不会涨了，炒股也会变得无聊……继续想下去，不难发现，这样的宇宙将会变成一团均匀且永恒的浆糊。

于是，我们究竟是在怎样的意义上讨论“空间平移对称性”呢？惯常的回答是“物理规律”的对称性。亦即，描写物理对象的运动方程在“空间平移变换”的作用下保持不变。或者更严格一些，系统的作用量在对称性的变换下应该保持不变。可是，直接描写物理世界的，并不是运动方程本身，而是运动方程的解——它当然可以不是平移不变的。

如果可见世界并非平移不变，那我们如何知道它显现的物理规律是平移不变的呢？最简单的回答，是动量守恒。台球间的碰撞就是很好的演示（图2）。通过台球碰撞和行进的方式，我们判断出物理规律应当是平移不变的。当然，这也是在近似的意义下成立的：你需要忽略台球和桌面的摩擦、忽略碰撞时动能的耗散。如果需要的话，可能还得忽略台球与空气的摩擦。当考虑了所有可能产生耗散的因素之后，我们也许会下结论说，台球碰撞所遵循的物理规律是严格平移不变的。这与上面提到的食盐晶体仅具有近似对称性当然不同：时空平移的对称性似乎是更高级的对称性。

（图2：通过动量守恒，我们推测出物理规律的空间平移不变性）

可是这个回答另有玄机：是否存在不可排除的因素，导致时空对称性仍然像食盐晶体一样，只是近似成立的？的确如此。因为，“近似”是物理的内核，经验世界中没有“严格”的概念。事实上，在极大或极小的尺度，时空对称性都将遭到挑战。为理解这一点，只需注意到，我们为获知时空对称性（即Lorentz对称性）所依赖的动量守恒、角动量守恒须以惯性系的存在为前提。而在极大或极小的尺度，这都是成问题的。

在我们这个加速膨胀的宇宙中，并不存在全局的惯性系。简单地将狭义相对论的原理套用到这里会遇到麻烦。例如，我们的宇宙中的确存在一个“绝对参考系”——人们甚至可以通过观察宇宙微波背景辐射来测量我们银河系相对于这个绝对参考系的运动速度（图3）。所以，全局的Lorentz对称性在这里自然是不存在的。当然，你可以说狭义相对论在此失效；但如果以此回过头来攻击狭义相对论本身，那就很可笑了。




（图3：这是COBE卫星观测到的宇宙微波背景辐射。通过其温度分布的偶极行为，我们知道银河系相对于“宇宙的围墙”有非零的速度。）

  另一个极端是微观世界。就目前的理解，巨大的量子涨落将使时空在Planck尺度失去我们在日常生活中所经验到的连续性。黑洞在其中恰如沸水里的气泡一样不断产生和消失。当然，在这里讨论任何时空对称性是徒劳的。

人们甚至并不认为Lorentz对称性必须要到Planck尺度才失效。也许在目前实验可及的尺度，Lorentz对称性就会破缺。值得一提的是：量子场论中著名的CPT定理指出，一个场论在电荷共轭C、空间反射P和时间反演T的联合变换下是不变的。这个定理的证明须以Lorentz对称性为前提。因此，如若物理世界中CPT对称被破坏，那么Lorentz对称性也会破坏。事实上，在粒子物理中人们已经观察到了P破坏甚至CP破坏。看来CPT破坏只是一步之遥，Lorentz对称性也岌岌可危——只是这一步的大小仍未可知。这对于理论家来说十分重要：因为如何使一个本身破坏Lorentz对称性的时空在我们经验世界的尺度上将这个破坏巧妙地隐藏起来，在理论上也是一个困难的问题。

对于物理专业的同学，以上讨论未免过于老生常谈。可是对时空对称性的这种分析给我们两个提示。第一个提示是，但凡经验世界的对称性，在原则上都可以是近似的。换言之，没有任何先验的理由认为一种经验对称性应当严格成立。反之，如果物理理论中存在某种“严格”的对称性，那就很值得拷问这种对称性究竟是否是物理的。另一个提示是，我们能够经验到对称性的前提是，这种对称性一定能被可观测的物理效应所破坏。否则，如果运动方程和它的物理预言都具有这种对称性，那我们又如何知道这种对称性不是由我们语言的冗余所导致的呢？

可是物理理论中恰恰存在那种既在物理规律的层面上成立、也在可观测物理效应中满足的对称性——这就是规范对称性。以上文为基础，我希望能够解释清楚为何规范对称性是非物理的对称性。不过这篇日志已经足够长了，关于规范对称性的讨论，请容我下回再叙。