对称性闲话一则

（按：顾颖飞同学在“饥渴乐园”开了一个物理讨论小组，要我为他的“对称性”专题写点东西。他认为我之前的日志对低年级同学不够科普，故有此文。当然，这不意味着我对读者的物理背景没有任何假设。）

无论如何强调对称性在现代物理学中的作用都不过分。这不难理解：物理的目标之一似乎就是恰当地将纷繁复杂的自然现象约化为简单的规律。而对物理理论的审美态度大概正是来源于这种约化过程与艺术活动的相似性。在此过程中，对称性恰恰是一种约化现象的快捷方式，因而极容易激发人们的灵感，无论是科学的还是艺术的。

然而在这里继续解释什么是对称性将显得冗余，因为已经有太多介绍对称性的初级读物了，且其中不乏大师的精彩之作，而我不认为自己会比他们解释得更好。所以让我们以经验主义的姿态快速进入具体问题。

对于单个物体来说，对称性的存在容易确证。比如，观察一粒食盐晶体（如果能买到的话），你能发现某种对称性，尽管是近似的。事实上，如果仅仅关注这类例子，在现实世界中大概是没有完美的对称性。即使是实验室中磨出来的号称世界上“最圆的”硅球
，（图1）也不会完美。



（图1：为了更好地定义“千克”所磨制的硅球，号称是世界上最圆的球。即使如此，它也不是完美的。）


可是在理论物理中我们时常见到“时间平移对称性”，“空间平移对称性”之类的短语。初看上去这似乎荒诞不经：如果这个世界真是时间平移不变的，那房价自然是不会涨了，炒股也会变得无聊……继续想下去，不难发现，这样的宇宙将会变成一团均匀且永恒的浆糊。

于是，我们究竟是在怎样的意义上讨论“空间平移对称性”呢？惯常的回答是“物理规律”的对称性。亦即，描写物理对象的运动方程在“空间平移变换”的作用下保持不变。或者更严格一些，系统的作用量在对称性的变换下应该保持不变。可是，直接描写物理世界的，并不是运动方程本身，而是运动方程的解——它当然可以不是平移不变的。

如果可见世界并非平移不变，那我们如何知道它显现的物理规律是平移不变的呢？最简单的回答，是动量守恒。台球间的碰撞就是很好的演示（图2）。通过台球碰撞和行进的方式，我们判断出物理规律应当是平移不变的。当然，这也是在近似的意义下成立的：你需要忽略台球和桌面的摩擦、忽略碰撞时动能的耗散。如果需要的话，可能还得忽略台球与空气的摩擦。当考虑了所有可能产生耗散的因素之后，我们也许会下结论说，台球碰撞所遵循的物理规律是严格平移不变的。这与上面提到的食盐晶体仅具有近似对称性当然不同：时空平移的对称性似乎是更高级的对称性。

（图2：通过动量守恒，我们推测出物理规律的空间平移不变性）

可是这个回答另有玄机：是否存在不可排除的因素，导致时空对称性仍然像食盐晶体一样，只是近似成立的？的确如此。因为，“近似”是物理的内核，经验世界中没有“严格”的概念。事实上，在极大或极小的尺度，时空对称性都将遭到挑战。为理解这一点，只需注意到，我们为获知时空对称性（即Lorentz对称性）所依赖的动量守恒、角动量守恒须以惯性系的存在为前提。而在极大或极小的尺度，这都是成问题的。

在我们这个加速膨胀的宇宙中，并不存在全局的惯性系。简单地将狭义相对论的原理套用到这里会遇到麻烦。例如，我们的宇宙中的确存在一个“绝对参考系”——人们甚至可以通过观察宇宙微波背景辐射来测量我们银河系相对于这个绝对参考系的运动速度（图3）。所以，全局的Lorentz对称性在这里自然是不存在的。当然，你可以说狭义相对论在此失效；但如果以此回过头来攻击狭义相对论本身，那就很可笑了。




（图3：这是COBE卫星观测到的宇宙微波背景辐射。通过其温度分布的偶极行为，我们知道银河系相对于“宇宙的围墙”有非零的速度。）

  另一个极端是微观世界。就目前的理解，巨大的量子涨落将使时空在Planck尺度失去我们在日常生活中所经验到的连续性。黑洞在其中恰如沸水里的气泡一样不断产生和消失。当然，在这里讨论任何时空对称性是徒劳的。

人们甚至并不认为Lorentz对称性必须要到Planck尺度才失效。也许在目前实验可及的尺度，Lorentz对称性就会破缺。值得一提的是：量子场论中著名的CPT定理指出，一个场论在电荷共轭C、空间反射P和时间反演T的联合变换下是不变的。这个定理的证明须以Lorentz对称性为前提。因此，如若物理世界中CPT对称被破坏，那么Lorentz对称性也会破坏。事实上，在粒子物理中人们已经观察到了P破坏甚至CP破坏。看来CPT破坏只是一步之遥，Lorentz对称性也岌岌可危——只是这一步的大小仍未可知。这对于理论家来说十分重要：因为如何使一个本身破坏Lorentz对称性的时空在我们经验世界的尺度上将这个破坏巧妙地隐藏起来，在理论上也是一个困难的问题。

对于物理专业的同学，以上讨论未免过于老生常谈。可是对时空对称性的这种分析给我们两个提示。第一个提示是，但凡经验世界的对称性，在原则上都可以是近似的。换言之，没有任何先验的理由认为一种经验对称性应当严格成立。反之，如果物理理论中存在某种“严格”的对称性，那就很值得拷问这种对称性究竟是否是物理的。另一个提示是，我们能够经验到对称性的前提是，这种对称性一定能被可观测的物理效应所破坏。否则，如果运动方程和它的物理预言都具有这种对称性，那我们又如何知道这种对称性不是由我们语言的冗余所导致的呢？

可是物理理论中恰恰存在那种既在物理规律的层面上成立、也在可观测物理效应中满足的对称性——这就是规范对称性。以上文为基础，我希望能够解释清楚为何规范对称性是非物理的对称性。不过这篇日志已经足够长了，关于规范对称性的讨论，请容我下回再叙。