大学一年级的规范场论

（题图：根据现代物理学，我们四周无处不在的光，也是一种规范场。）

越是简单的系统，它所蕴含的内容也越丰富。最简单的例子是实数轴。全体实数构成一个集合，也可以叫空间。它有拓扑结构（开区间），是拓扑空间；有度量结构（绝对值），是度量空间；有线性结构，是线性空间；有范数（还是绝对值），因此是赋范空间，它是完备的，因此是Banach空间。当然，它还是良序集，是群，是域，是Abel群，是Lie群……还可以用更多的数学名词继续轰炸无辜的读者。当然，这是不人道的。

言归正传。学物理的同学大多对“规范场”有所耳闻，它是今天高能物理中研究微观粒子的基本工具。规范场论的精髓，杨振宁先生将它简练而深刻地概括为：对称性导致相互作用。在此处将细节一一道来显然不切实际。然而，正如你可能不知道什么是Lie群、却一定知道实数轴一样，如果你学过大学第一学期的普通物理，那你就一定学到了一种规范场论。

翻任何一种普物课本，大概都能找到这样的内容：

将矢量对时间求导数，其结果依赖于参考系的选择。如果两个参考系之间有相对转动，则同一个在这两个参考系中对时间求导，所得之结果并不相同，它们之间相差一个与两个参考系相对角速度有关的量。具体而言，设S系与S’系之间有相对角速度ω，则同一个矢量A在两个S和S’系中分别对时间求导，满足如下关系：

当然，这是众所周知的。然而，这个结果的确可以用规范场的理论重新表述：如果取我们的时空为“0+1”维，换言之，只有时间，没有空间；然后，将现实的三维空间视作规范对称性所在的“内部空间”，规范群取作三维空间的对称群SO(3)。在此基础上立刻可以看出，上面的公式实际上就是协变导数的定义，而ω的三个分量就是相应的规范场！

更多的细节似乎并无写在此处的必要，虽然魔鬼往往藏在细节里。