不确定性原理的毁灭？

(按：这是我几天前的一个presentation中的部分内容，略作补充贴在此处与有兴趣的同学分享)

按照能量级的大小来探究自然的方式，可以说是现代物理学对人类知识中最重要的贡献之一。按照这种观念，任何自然现象都在一定的能量尺度下出现，在不同能量级别上，世界会呈现出极不相同的规律。高能物理用“电子伏特(eV)”这种特殊的单位标记能量的大小，1个电子伏特定义为1个电子在经过1伏特的电压加速后所获得的能量。

几个例子：日常生活中见到的水结冰、蒸发，这样的现象发生在0.01eV的量级上；化学反应，例如燃烧、电解，大多发生在1个eV的尺度。10的3次方电子伏特的能量相当于X光；而10的6次方电子伏特，则是核反应的量级。

如果继续升高能量，就进入了所谓高能物理的领土。如果我们对一些日常生活中的问题连续问几个为什么，往往就会到达这里。例如，我们可以问，酒为什么可以燃烧？答案是酒精和氧气能发生化学反应。为什么会发生化学反应？因为有电子的转移和交换。为什么电子会移动交换？因为有电磁相互作用。为什么会有电磁相互作用？……这就是高能物理的问题了。我在上一篇博文中提到，电磁相互作用来源于规范对称性。

由此可见，在更高的能量尺度上，世界将呈现出更为本质的物理规律。这也就是为什么实验物理学家不惜投入巨量的时间与金钱来建造更高能量的对撞机的原因。

以上内容可算铺垫。下面给出两个有趣的小例子，以展示在极端高能的领域中，现有的物理规律会被破坏到何种程度。所谓的极端高能，是指10的27次方电子伏特左右的量级，高能物理中称之为Planck能量。在这样的尺度下，万有引力也将表现出量子效应，这是一种任何现有理论和实验都无法呈现的效应。

第一个例子将说明，Heisenberg不确定性原理在Planck尺度下将失效。

按照不确定性原理，时空尺度的不确定度与能量级有关。为了探测到更微小的尺度，需要更高的能量。

但是，如果我们将能量提高到Planck能标，这巨大的能量将创造一个黑洞。请注意：黑洞的大小与其能量有关。设此黑洞总能量为E，则它的半径由如下公式确定：

其中G为万有引力常数，c是光速。

因此，当我们继续提高能量时，所产生的黑洞也逐渐增大。可是黑洞内的信息是无法为我们所知的，这意味着我们所能探测的区域Δx也在变大：

这和使用不确定性原理所预期的结论正好相反。

第二个例子说明，系统的熵的大小被其所占空间的表面积所控制。

简单起见，考虑空间中一个系统，它所占据的区域被限制在半径为R的球体中。现在的问题是，它的熵有多大？

自然，如果只有这些条件，我们不可能给出熵的准确值。然而我们却将看到，此系统的熵存在最大值。

事实上，如果我们向这个系统注入能量，则其熵将增加。而另一方面，我们不能注入过多的能量，因为如果此系统的总能量超过一定限制，则这些能量将产生一个半径超过R的黑洞，这与我们事先假设系统所占据的空间不超过半径R相悖。至于这个能量是多少，请将上面的方程反解出E即知。

有一个已知的结论是，黑洞的熵与其表面积成正比。由此，上面的分析也意味着，此系统的可能有的最大熵不能超过半径为R的黑洞的熵，从而这个最大熵被其表面积所控制。

请注意，这个最大熵与表面积成正比，而不是与体积成正比，这与我们对熵作为广延量的认识是不同的。

推而广之，物理系统的规律由其边界上的规律所反映，这叫全息原理。我这个表述非常粗糙，您不必较真。

最后为有兴趣的读者留一个有趣的小问题：上面的分析似乎真的与不确定性原理、以及熵作为广延量的性质相悖。你不妨做一点简单的估计，来说明这个表面上的悖论实际上是不存在的。