对称性的量子破缺

——关于反常（anomaly），共形（conformal）和规范（gauge）的口水

（1）反常

建立量子理论的一般方法是，先写下一种经典理论，然后将它量子化。下文所感兴趣的是这样一个问题，即当一种经典理论被量子化之后，它所携带的各种对称性是否能完好地被保留下来。或者，量子化的过程是否会破坏经典理论的对称性。

乍看上去，这似乎的确是一个不好轻易下结论的问题。但之所以这个问题能被当做“问题”，是因为我们在上文中的提问方式。在量子效应破缺经典对称性的确凿证据被发现之前，物理学家们对这个问题不太当真。因为，最“自然”的想法是，量子理论“理应”携带经典理论的所有对称性。

我们今天已经知道，量子化的过程的确会破坏某些经典的对称性。不过，物理学家最初发现这种现象的时候十分诧异，以至于将之命名为“反常”（anomaly）。

为什么会有反常？为了回答这个问题，我们不妨问，为什么会有对称性？

经典理论的核心是作用量。当你给出一个作用量时，基本上就可以算是确定了一种经典理论。从而，一种经典理论具有某种对称性，即指它的作用量在相应的对称性变换下保持不变。

而在量子理论中，作用量并不是全部。或者，示意地讲，一种量子理论所包含的信息量要多于相应的经典理论。

在路径积分方法中，这一点很容易被看出：当我们写下一个路径积分时，可以说给定了一种量子理论。而在这个路径积分中，作用量只出现在被积函数中，充当一个相位的角色。在整个路径积分中，除了作用量之外，还有积分测度。这一部分也记录着理论的某些信息，而且往往是作用量所不知道的信息。

到这里，你也许已经发现，所谓反常，就是指，虽然作用量在一种给定变换下保持不变，但是路径积分中的积分测度并不保持不变。这样一来，整个量子理论就不再具有这种对称性。到此，我们可以说，反常来源于路径积分的积分测度。这的确是一个有说服力的解释，但也许不能让所有人满意。因为它过于抽象。为什么量子化会导致反常？我们希望有一个物理的解释。为此，下文用共形反常作为一个例子。但在此之前需要花一点时间说说“共形”。

 

（2）共形

我们从尺度说起。尺度变换是一个不难理解的概念：将一个系统放大或缩小若干倍，然后去考察这个系统会发生什么变化，这就是尺度变换。比如，《格列佛游记》中的小人国是否与我们过着相同的生活？稍加分析，我们会发现，当尺度缩小之后，系统的很多参数会发生变化。比如说，小人会比我们耐摔，从高空跌落所受到的伤害会比我们小。正如小人国的情形，在通常情况下，物理体系并没有尺度不变性。（对此更多有趣讨论，可见赵凯华先生的《定性与半定量物理学》。）

但是的确存在一些理想的具有尺度不变性的物理系统，比如，经典电动力学。如果系统中的带电粒子无质量，则此系统就是尺度不变的。

尺度变换是一种全局的变换，也即，全时空的坐标同时进行变换。不太严格地说，如果将尺度变换局域化，就得到共形变换。稍微严格的定义是，保持度规在相差一个系数f(x)的意义下不变的坐标变换，即为共形变换。请注意这个系数可以依赖于时空坐标，此即局部变换的所指。稍加推导，你会发现，共形变换包括通常的洛伦兹变换（平移+转动），局部的尺度变换，以及一种“特殊共形变换”(special conformal transformation)，实际上就是反演。

（多说一句，复平面上的共形变换就是解析变换，它们全体构成共形群，这个群是无穷维的Lie群，不过它有一个不变子群，即著名的Mobius变换全体。）

为什么会有共形不变性？或者更简单一些，为什么会有尺度不变性？

在经典理论中可以证明，如果理论的能量动量张量无迹(traceless)，则此系统共形不变。证明本身很简单，这里略去。因为此处所关心的是结论。如果你熟悉电磁场，请回忆电磁场的能量动量张量，它的确可以写成无迹的形式。因此电磁场是共形不变的。

当然，这个解释不够直观。但是我们也可以给出一个仅凭直觉即可理解的结论，那就是，若系统具有尺度不变性，则它必须不能包含任何非零的特征尺度。否则，这个特征尺度在尺度变换下的变化必将破坏尺度不变性。形象地说，平面、直线、射线、角，这些几何对象都是尺度不变的，因为它们不包含任何特征尺度。而矩形、圆形、网格则不是尺度不变的，因为它们都包含内禀的特征尺度。再举一例，两条相交的直线是保持尺度不变，而两条平行的直线破坏尺度不变。

在物理学中，尺度的含义比几何中的长度更丰富，因为在自然单位制下，长度具有和能量的倒数相同的量纲，因此所谓尺度，还包括能量、质量等等。经过上一段的解释，我们就不太难理解，为什么无质量带电粒子的电动力学会是共形不变的：因为出现在其中的所有粒子（光子与无质量粒子），以及单位电荷e本身，都不包含任何特征尺度。一旦带电粒子是有质量的粒子，比如电子，则尺度不变性就不复存在。

到此为止，我们已经做好了介绍共形反常的一切准备。关于共性反常的正题，请容我下回再写。

 

今天的音乐改为一段有趣的视频，关于Moebius变换。其背景音乐来自Schumann的Kinderszenen（童年情景）。