（引用一张著名的图片，不多解释了。）
（3）共形反常
上回说到，系统的尺度不变性，大体上源自系统无特征尺度。包含无质量带电费米子的经典电动力学那个就是一个例子。因为，负责传递电磁作用的光子和其它带电粒子都无静质量，而光子和带电粒子的耦合强度（正比于精细结构常数）本身无量纲，因此也不携带任何特征尺度。——请注意，这句话是值得怀疑的！因为虽然耦合强度不带量纲，但是它的数值本身如果会随尺度变化，则不难想象，它本身也将成为一种尺度的标尺。打个不恰当的比方：平面本身是尺度不变的，但是如果它带有颜色，而且当你变换尺度时它的颜色也发生变化，那你可以很自然地从它的颜色中认出当前的尺度，从而这种平面就不再是尺度不变的系统。
无质量带电费米子的电动力学正是这样一种理论：当我们将它量子化之后，它的耦合常数会随尺度跑动。也就是说，“精细结构常数”不再是常数：它只在低能尺度下是1/137，在大统一尺度（十几个GeV）附近，它将升高到1/80左右（请参考题图），也就是耦合变强了。用经典电磁学的语言，这意味着库仑定律在极微小的距离下将被修正。
为什么量子化会造成耦合常数的变化？下面是一种直观的解释。
所谓量子化，就是在理论中考虑进所有的量子效应的修正。量子效应，类似于热效应，表现为某种微观的涨落，这种涨落的强度由不确定性原理控制。而其效果，就相当于在真空中极化出（虚）粒子对。这样一来，真空就变得类似于某种介质，在电磁场的作用下发生极化。在电磁学中我们知道，介质极化的效果是使得从电荷从远处看来显得变弱了，这里也是如此。一旦能量升高，触及到真空的“极化层”内部，我们就能逐步穿破真空极化造成的屏蔽，于是我们看到的电荷会随着能量尺度的提高越来越强。
现在就不难理解为什么无质量带电粒子的电动力学会出现反常：因为量子化向系统引入了特征尺度。这种尺度破坏了经典系统的共形对称性，故称此为共形反常。
（4）规范反常？
此前的大部分内容都在讨论共形及其反常。作为结束，我们问，规范对称性是否会出现反常？
规范对称性最早出现在电磁学中：对电磁势作规范变换，不改变任何物理效应。为什么会有规范对称？惯常的解释是：无质量的光子只有两种偏振态（左旋或右旋），但我们却在用一个四分量的洛伦兹矢量来描述它，因此出现了多余的自由度。这些多余的自由度描述同样的物理，而之所以会有多余，完全是我们理论所使用的语言所致。因此，规范对称是一种非物理的对称性，或者说是“假的”对称性。说得严重一些，这种对称性是人为编造的。
既然是人为编造，那么就不应该反映在真实的物理中，于是我们猜测：规范对称性没有反常。
实际情形的确如此：在量子化的规范理论中，规范对称性被严格保持，它表现为量子效应不会修正光子（或者其他规范粒子，如胶子）的质量：它保持为零。
顺便说一句：著名的Higgs机制在文献中常被叫做spontaneous breaking of gauge symmetry（规范对称性的自发破缺）。这是一种极易引起误解的说法。规范对称性的本意就是非物理的对称性，因此它从不破缺。
最后留下一个简单的小问题：单纯的电磁场（不含带电粒子）是否有共形反常？单纯的Yang-Mills场呢？
今天的音乐是Ravel的钢琴四手连弹组曲： Ma Mere L'Oye（鹅妈妈）。
Ravel的音乐通常是法国音乐的典雅传统和印象派的糅合。这部略带东方情调的组曲显示出晶莹剔透的精致风格与梦幻般的绚丽色彩，都是Ravel音乐的指纹性特征。
这个版本来自两位重量级大师Pletnev和Argerich的联袂演绎：
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