可是对于住在精神病院隔壁的理论物理学家来说，想象着这个世界有更多的维数已经是家常便饭。的确，从第一个有意义的多维空间模型的诞生到今天，已经过去了九十年。我们都知道，Einstein于1915年左右建立的广义相对论将万有引力归结为时空的弯曲。而从德国数学物理学家Kaluza与Einstein的通信可知，不迟于1919年，前者就已将此几何化的世界推广到五维时空[1]。作此推广的动机是统一场论：与我们四维时空的弯曲导致万有引力类似，让第五维空间的弯曲解释电磁力，那么万有引力与电磁力就优美地获得统一。
“可我们的世界明明只有四维呀？”——这是额外维模型遇到的第一个麻烦。很快，1926年，瑞典理论物理学家Oskar Klein给出了解决方法：将那多出来的一维卷起来即可[2]。这背后的常识是，从远处看去，一根头发是一维的物体。可是更仔细一点，比如用显微镜看，你会发现，发丝也有粗细，因此其表面仍然是二维的。只是，那一维实在“太小”，在远处看去无异于不存在。与此相仿，只要时空的第五维卷得足够小，小到通过显微镜都看不到，那么人们平素所见的世界就仍然是四维的时空。
这就是著名的Kaluza-Klein理论。构造在此基础上的额外维模型，至今仍是基本粒子理论的热门候选者，并且有望在近期内由实验检验。不过这些还不是本文的重点。因为，我们希望离精神病院更近一些。毕竟，理论物理学家最擅长的事情就是得寸进尺：既然可以有一个额外的维数，为什么不能有两个、三个或者更多呢？在弦论中，维数并不是预先给定的量。1971年，Lovelace第一次发现[3]，弦论中散射振幅的解析性要求时空的维数是26。这个数字在加入了超对称的弦论中变成10。然而无论是26维还是10维，如果人们指望这些理论能够描写现实世界，那么多余的维数都得在一个很高的能量尺度上被卷起来——请回忆，在相对论性的量子理论中，高能量对应于短距离。因此，额外维若存在，则必然出现在极其微小的尺度上。这也就是为何它们会影响到微观世界的粒子物理，却不会毁灭生活世界中人所共知的常识——你只需想想头发丝即可——维数总是随着能量尺度的升高而变大，无论在最初的Kaluza-Klein模型中，还是超弦理论中。
然而，这并非故事的全部。
2000年左右，几位物理学家在圈量子引力和Regge calculus的启发下发明了一种处理量子引力的数值方法，称为causal dynamical triangulation（CDT，因果性动力学三角剖分）[4]。其大致方法是，将时空作三角格子剖分，在此网格上加以一定的限制（如保持因果性等），然后研究格子本身的演化。如果你需要一个图像来理解这一点，可以想象水立方。人们希望通过此类数值计算跟踪量子引力的蛛丝马迹。CDT最引人注目的结果是，时空在Planck能标[5]变成了2维。并且，随着能量从Planck尺度下降到日常生活的尺度，维数由2渐渐升至4。注意，恰恰是在Planck尺度，量子引力效应起主导作用。因此可以说，量子引力生活在二次元的世界。
请注意，这幅图像与Kaluza-Klein模型是相反的：维数随着能量尺度的上升而下降！头发丝的类比在这里失效了。人们自然会问：这个二次元的世界究竟是指什么呢？如果没有“卷起来”的机制，那么又是什么机制保证2维的量子引力世界能退回到4维的世界呢？可惜目前并没有理解这一点的直观图像，甚至也没有明确的机制能够解释，这个维数的变化是如何实现的。由于CDT是一种数值方法，它在提供答案的同时并不提供对答案的理解。
可以确知的是，这里的维数必然与我们通常所理解的维数很不一样。我们在经典或量子物理中所提到的维数，通常依赖于线性空间的结构。而CDT的世界是一个三角剖分的网格世界，其中没有通常意义下的线性结构。实际上，CDT所谓的维数实际是指“谱维数”（spectral dimension），这是从扩散过程中分布函数对时间依赖的幂次行为中提炼出来的概念。直观上，我们知道，对于相同的面积，离太阳越远，接收到的热量就越少，这个随距离减少的函数满足平方反比律。为什么是平方反比？——因为，所有以太阳为中心的球面都接受到相同多的热量，而这些球面的面积正比于球半径的平方，因此单位面积的热量按平方反比被稀释。仿照类似的推理，你会发现，在其他维数下，随距离按-2次方衰减的规律不再成立。你也可以找到此时代替-2的新的指数，并给出这个指数与时空维数的关系。根据此关系，知道了维数即可求出衰减指数，反之亦然。
这就是定义“谱维数”的出发点。虽然对扩散过程的讨论略有不同，但其精神是一致的。在CDT中，计算结果的确给出了分布函数随尺度变动的扩散指数，这就暗示了时空本身的（谱）维数在发生变化。
不过，比头发丝类比的失效更挑战直觉的结果是，这里的维数是连续变化的——可是维数难道不应该是整数吗？整数又如何连续变化呢？
虽然目前对维数变化的过程缺乏足够的理解，但人们已有了一些初步的尝试。最容易想到的解决方式当然是分形，即分数维的几何对象。分形在日常生活中无处不在：血管，河流，树枝，海岸线——它们都具有近似的分形结构。自然，这里的维数也不是线性维数，而是Hausdorff维数。
“分形”（fractal）一词提出于1975年，而就我所知，构造分形时空中的量子场论在上世纪80年代就已开始。然而这还不能满足我们的需求——分形的维数虽不是整数，却是一个固定的值，而我们所需要的维数，不仅仅是非整数，而且还要随着尺度跑动。不过，这样的结构在数学中也有对应，人们称为“多分形”(multifractal)。近两年，也有人尝试构造多分形上的量子场论，目前仍处在起步阶段。顺便一提，2009年大热的Horava-Lifshitz理论，在一定意义上也能复现CDT的结果，即Planck尺度下谱维数趋于2。尽管理论上这一切还不甚明了，但很快已有人将其应用到现象学研究。今年2月份，Stojkovic的一篇文章[6]指出：如果时空真的在高能时变成3维、甚至2维，那么在不远的将来，人们即可通过粒子物理实验或者宇宙学观测检验之。比如，如果在某一个能量尺度下时空是3维的，则不存在相应频率的引力波——因为引力场在3维时空中没有传播的自由度。于是，宇宙早期原初扰动所产生的引力波必有一频率的上限。经过上百亿年的膨胀，这个频率已经红移到了引力波探测实验（如LISA）可以触及的尺度。
作此预言的条件是，时空从4维降至3维的尺度发生在TeV能量附近——这听上去难以置信，因为目前的粒子物理实验已经可以进入此能区，却没有明显的结果表明TeV尺度的时空是3维的。然而，该文作者声称，从宇宙线观测中，人们已经发现了TeV尺度上维数减少的迹象。看来，物理学家不仅自己很疯狂，还善于将这个世界变得和他们一样疯狂。
作为结束，我们顺便指出一个已有的暗能量模型[7]。该模型鼓吹，虽然我们的时空是四维，但在宇宙的尺度上是五维。我们再提到，量子引力的强耦合极限[8]指出，在远高于Planck能标的区域，所有空间维数将被冻结，只剩下1维时间。现在，整合所有这些图像，我们终于民科般地发现了一条伟大的存在之链：从远小于10的负35次方米到大至10的26次方米的广袤世界中：时空的维数从1经过2、3、4，直至5。我们人类，恰好存在于4维时空的尺度上。这，可以用《圣经》与《道德经》的结合以描述：
太初有道：道生一，一生二，二生三，三生万物。
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[1] J. Dongen, arXiv:gr-qc/0009087v1 (2000),
[2] O. Klein, Nature, 118, 516, Z. Phys., 37, 895, (1926),
[3] C. Lovelace, Phys. Lett., B34, 500 (1971),
[4] See, e.g., J. Ambjørn, Phys. Rev. Lett., 95, 171301 (2005),
[5] Planck能标大致在10^28 eV；作为对比，核反应的能量级大致是10^6 eV，化学反应的量级大致是0.1eV,
[6] J. Mureika and D. Stojkovic, Phys. Rev. Lett. 106, 101101 (2011),
[7] G. R. Dvali, G. Gabadadze, and M. Porrati, Phys. Lett. B 485, 208 (2000),
[8] 参见此前的日志：《让光线飞》，《关于上一篇日志“让光线飞”的技术性附注》.
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