弦乐四重奏: 数学无处不在

注意，题目是数学(mathematics)而不是算术(arithmetics)，因此是关于原理而不是关于应用。
本文试图收集这样一些数学原理：它们的正规表述可能极其抽象，但它们却有直观的解释。因此本文可以算是娱乐，但也许不仅仅是娱乐。

压缩映像原理：完备度量空间中的压缩映射存在唯一的不动点。
注记：这是分析学中一条非常基本的原理，又称Banach不动点原理。粗略地说，完备的意思就是没有“洞”。至于不动点，是指在“变换”的过程中保持不动的点。比如说，当你用筷子沿逆时针方向缓慢地搅动一杯水时，水会形成环流，虽然大部分的水都流动起来，但是环流中心一点处的水始终是不动的，这就是不动点。希望我拙劣的解释不要惹恼学数学的同学。
解释：在北京任何一处摊开一张北京地图，则压缩映像原理断言，地图上必然存在一点、且仅存在一点，使得，此点与它所指示的实际地点恰好重合。这个解释，我最早是从讲数学分析课的饶辉老师那里听来的。
追求严格性的同学，以及希望看到证明的同学，可以看看wiki上更专业的解释。

毛球定理：球面上光滑的切向量场必有奇点。
注记：这里的奇点包括无定义的点与取零向量的点。
解释：每个人的头上至少有一个“旋”。
对解释的注记：严格地说，虽然此解释流传甚广，但却是有问题的。没有哪个人的头发长满了整个头，因为头与脖子相接的里面那一块没办法长上头发。一般来说，人的头发都长在头上一块拓扑平凡的区域里（不讨论脱发者），因此理论上允许存在一颗不长“旋”的脑袋，比如，这个脑袋上的头发完全是从后向前长。

不过，可以将脑袋上长头发的方式再限制一下。比如，要求在长头发的区域的边缘上，所有的头发都向外长。加上这个限制，则这颗脑袋就一定有“旋”了。这个事实很好理解：如果一座湖只向外流水，但其水量不减少（不考虑蒸发和降水），则可断言湖中某处必有水源，例如有一个泉眼。这个泉眼就是湖的“旋”。这个结论还让我们联想到分析学中的Gauss定理。
更多更严格的解释，请参考wiki上的Hairy ball theorem。

Borsuk-Ulam定理：设f是从n维球面到n维Euclidean空间的连续映射，则球面上必存在一点，满足， f将它和它的对径点映到平面上的同一点。
解释：在任何瞬间，地球上总有一对对径点（即脚对脚的两点，如北京和布宜诺斯艾利斯），它们的气温和气压完全相同。
继续解释：由这个定理可以容易地证明下面的事实（虽然看上去完全无关）：
设两片面包片中夹了一片火腿，则不论摆放位置如何，总可以一刀切下去，将这个“三明治”切成一样大小的两半。我是说，上面的那片面包、下面的那片面包，以及中间的火腿，都被这一刀切成了体积相同的两半。
注记：还可以证明，如果夹了两片火腿，就不存在这样“等分”的刀法了。
继续注记：用Borsuk-Ulam定理还可以证明：球面不可能被三个闭集覆盖，如果球面上的任何点和它的对径点不同时属于这三个闭集中的任何一个。
最后，仍然是wiki的解释。

先写这些，留待以后继续补充。如果你还有更多有趣的解释，请告诉我。