为什么看不见高自旋粒子

 

Why high-spin particles are not seen yet?

 

(Some
derivations have been removed since it's not easy to input mathematical
equations here. To see the full text please download the PDF file
attached. Here is the LINK.)

 

Introduction

Historically, the concept of spin was introduced by Uhlenbeck and Goudsmit in 1925, in order to explain somewhat weird result of the well-known Stern-Gerlach experiment. They hypothesized that, every electron has an intrinsic angular momentum of \hbar/2. At that time, however, the origin of this intrinsic angular momentum was not clear. Naturally, one might identify the spin of an electron as the rotation along the axis passing through its center. But this does not work, as posed by Lorentz, who showed that the linear velocity of the “surface” of an electron will exceed the speed of light, if such a viewpoint is taken. This is evidently forbidden by the theory of relativity.

The rigorous and systematical treatment of the theory of spin was first given by Wigner, who developed his theory in the frame of the quantum mechanics. As we know, the central idea of the quantum mechanics is the quantum state and the Hilbert space. If a particle can be represented by a state in the Hilbert space, then the symmetry that governs the motion of the particle will also acts on the Hilbert space. We know that symmetry can be described mathematically by a group, thus the action of the symmetry on the Hilbert space can be accordingly described by the representation of the group.

The crucial thing here is that the representation of a symmetry group on a physical Hilbert space must be a unitary (or anti-unitary) representation. This is the famous Wigner theorem. A direct consequence of this theorem on particles, is the fact that a massive particle with spin s has 2s+1 degrees of freedom, while a massless particle always has two degrees of freedom, which has nothing to do with its spin. In principle, the spins of both massive and massless particles can take any positive integer and half-integer value, including zero.

On the other hand, in quantum field theory, particles are created by field operators, which can be classified by their transformation properties under Lorentz transformations. The different classes of fields are known as scalar, vector, or tensor, etc. Of course, they are also the representations of the symmetry group of the space-time, but these representations are quite different from ones carried by states. Since the former is finite-dimensional and non-unitary, while the latter is infinite-dimensional and unitary. This fact leads to a problematic result: the degree of freedom (DOF) of the field will in general be different from the DOF of the state (or particle) created by that field. To fully understand this problem, we will introduce two interesting theorems. They are known as “no-go” theorems which mean the statement of the theorems are negative.

 

Weinberg-Witten Theorem

The Weinberg-Witten theorem mainly deals with the massless particles. The formal statements of the theorem are as follows:

Theorem 1: A theory that allows the construction of a Lorentz-covariant conserved four-vector current J^\mu cannot contain massless particles of spin j>1/2 with nonvanishing values of the conserved charge \int\di^3x J^0.

Theorem 2: A theory that allows the construction of a conserved Lorentz covariant energy-momentum tensor T^{\mu\nu} cannot contain massless particles of spin j>1.

The proof of the theorem is straightforward. The strategy is to consider the S-matrix elements of the conserved current.

(To see the details of the proof, please download the PDF file attached.)

Coleman-Mandula Theorem

The Weinberg-Witten theorem excludes the presence of charged massless particles with too large spin. However it says nothing on massive particles. Now we introduce the more powerful Coleman-Mandula theorem, which is also a no-go type theorem.

Theorem
1) For any M there are only a finite number of particle types with mass less than M.
2) Any two-particle state undergoes some reaction at almost all energies.
3) The amplitude for elastic two-body scattering are analytic functions of the scattering angle at almost all energies and angles.

With these assumptions, the theorem claims that the only possible Lie algebra of symmetry generator consists of the generators of the Poincaré group, together with possible internal symmetry generators, which commute with the Poincaré generators.

 

A possible explanation of the absence of high-spin particles

With the Coleman-Mandula theorem in hand, let us go back to the problem of the spin. As has mentioned in Section 1, the degrees of freedom between the field and the corresponding state have a nontrivial mismatch when the state has the spin s≤1. For instance, A vector field, which has 4 DOFs, can create a state with spin 1, which has only 3 (or 2 in massless case) DOFs. Another example is the gravity: A metric field has 10 DOFs, while a graviton, as a massless particle, has only 2 polarizations.

We see that as the spin goes higher, the mismatch between fields and states becomes more serious. This result suggests that there exist redundant and unphysical DOFs in fields. To exclude these redundant DOFs, we should impose the gauge symmetry on the fields. Conventionally, these kinds of fields are called gauge fields. It explains why gauge symmetry is necessary.

As we have learned in classical electrodynamics, in a physical theory with gauge symmetry, the gauge field must couple to a conserved current to maintain the gauge invariance. Generally, we can write this coupling term in the Lagrangian as:

(Omitted derivations)

Now the Coleman-Mandula theorem works: The theorem claims that all the conserved charges, or generators of inner symmetries commute with Lorentz generators, hence these charges Q must be scalars and carry no Lorentz indices. Then the current corresponding to such a generator must be a vector J^\mu. so as the field coupled to the current. We conclude that inner symmetries can only offer couplings to a vector fields, which corresponds the spin 1 particle.

The remaining choice of the generators are Lorentz generators. For example, the momentum generator P^\mu, as a vector, produces a conserved current of rank-2 tensor T^{\mu\nu}, which is just the well-known energy-momentum tensor. This tensor couples to gravity, thus make an opportunity for us to detect the spin-2 gravitons. The last choice is angular momentum generator J^{\mu\nu}, which permits a coupling to a rank-3 tensor field, which I haven't heard about yet.

Now the list of symmetry generators is exhausted. We see that no elementary particles with spin higher than 3 can be detected, due to the lack of proper type of interactions.

 

最后是音乐。现代音乐大师Messiaen的钢琴曲“二十圣婴默想”的第十一首。点此下载

它来自Aimard在Teldec的唱片：

切除时间

（本文译自Scientific American 2009年12月号。原作者为Zeeya Merali。仅供学习交流。）

 

牛顿对了？爱因斯坦错了？抽掉时间和空间的联系、回到十九世纪的时间概念，也许可以导致一个新的量子引力理论。

数十年来，物理学家为促成量子力学与万有引力的联姻而费尽心机。与此相反，自然界的其它相互作用力对量子力学则显得很顺从。例如，使用量子力学的方式，电磁力可以由光子的运动来描写。但是，如果你试图用量子化的引力子来描写物体间的万有引力，则会立刻遇到麻烦：因为你得到的任何答案都是无穷大。不过现在，伯克利的加州大学(University of California, Berkeley)的物理学家Petr Hořava认为，他理解了这个问题。这一切，他说，都只是时间问题。

详言之，问题的根源在于爱因斯坦的广义相对论将时间和空间绑在了一起。众所周知，爱因斯坦打破了牛顿理论中绝对时间的概念，亦即时间作为背景按照固定的方式流动的图景。爱因斯坦认为，时间是另一个维度，并和空间一同构成一团可延展的结构，并且，这个结构会被物质弯曲。问题就在于，在量子力学中，时间仍像其在牛顿力学中那样高傲地地位：物质在其中舞动，但从不影响到它。看来，这两种时间的概念并不吻合。

Hořava对此的解答是，在极高的能量下剪断时空间的联系，正如被量子引力统治的宇宙早期那样。他说：“我要回到牛顿理论中时间和空间并不等价的观念。”他同时解释道，在低能下，广义相对论将在这一框架下浮现出来，时间与空间又连为一体。

Hořava将这一“浮现”的过程比喻为某种物质的相变。例如，在低温下，液氦将戏剧性地变成能克服阻力的超流体。事实上，他正是利用相变的数学来构建其理论的。目前看来，这似乎起作用：困扰其它量子引力理论的无穷大在这里被驯服了，而且理论给出了一个行为良好的引力子。此外，它似乎也和量子引力的计算机模拟相吻合。

自一月份Hořava提出这一理论之后，物理学家们就为之而兴奋。11月，他们在安大略省的滑铁卢周界理论物理研究所(Perimeter Institute for Theoretical Physics in Waterloo, Ontario)集会进行讨论。物理学家们尤其注意检查这个理论是否能正确描写我们今天所见的宇宙。因为我们记得，爱因斯坦的广义相对论对水星运动的预言给了牛顿理论决定性的一击。

Hořava的引力能取得相同的成功吗？对此第一个尝试性的回答是肯定的。里斯本大学(University of Lisbon)的Francisico Lobo与合作者发现，该理论与行星运动在某处有很好的吻合。

还有人对Hořava引力给予更大胆的肯定，特别是将它用于解释宇宙之谜的时候。比如说，在大爆炸的奇点处，所有物理规律将失效。McGill大学的Robert Brandenberger在八月份发表于Physical Review D的一片文章中称，如果Hořava引力是对的，那么宇宙并不爆炸，而是进行“反弹”。他说：“一个充满物质的宇宙将会聚集到一个很小、但有限的尺度内，然后再反弹回去，这样就造成了我们今天看到的膨胀中的宇宙。”Brandenberger的计算表明，由这种反弹所致的结果与目前的卫星观测数据吻合。现在，他正在寻找反弹宇宙中有别于大爆炸宇宙的特征信号。

Hořava引力也许还能创造出“暗物质的幻象”，东京大学的宇宙学家向山信治(Shinji Mukohyama)说。在发表于九月份Physical Review D的文章中，他解释道，在某种确定的情形下，Hořava引力子在与通常的物质相互作用时将会产生某种涨落，它将导致引力比广义相对论的预期稍强一点。这一效应使星系显得比它看上去要携带更多的物质。如果这些还不够，韩国全北国立大学(Chonbuk National University)的宇宙学家Mu-In Park则相信，Hořava引力也许可以导致目前宇宙的加速膨胀。当下，这一现象被归因于神秘的暗能量。对此一种具有代表性的解释是，虚空中含有某种内在的且会将宇宙向外推的能量。广义相对论并不能制造出这样的能量，但是根据Park，暗能量能自然地从Hořava引力中涌现出来。

然而，Hořava理论离完美尚远。瑞士联邦技术研究所(Swiss Federal Institute of Technology, EPFL)的量子引力研究者Diego Blas在仔细检查对太阳系的有关计算后已经发现了该理论的潜在缺陷。大多数物理学家研究了理想情形，例如，他们假设太阳和地球是球体。Blas解释说：“我们检验了一种更实际的情形，即认为太阳几乎是、但并不完全是球形。”在这两种情形中，广义相对论都能给出相同的答案。但是Hořava引力在现实情形下的结果则有极大的偏差。

与EPFL的Sergei M. Sibiryakov以及CERN的Oriol Pujolas一道，Blas将Hořava引力重新系统化，使它与广义相对论取得一致。Sibiryakov在九月份法国塔卢瓦尔的一次会议上展示了他们小组的模型。

Hořava欢迎各种修改。“当我提出它时，我并没有声称自己得到了最终理论，”他说，“我希望其他人检验它、改进它。”

CERN的一位量子引力专家Gia Dvali则对此保持谨慎。几年前，他为解释暗能量而使用了类似的技巧，亦即将时间和空间分离开来。但是他放弃了这个模型，因为它允许信息以超光速传播。

“我的直觉是，任何此类模型都会带有我们不希望有的副作用，”Dvali认为，“但是如果他们发现了一个并非如此的版本，那么这个理论就必须被认真对待。”（完）

今天的音乐是现代音乐大师Boulez作于1997年的Anthemes 2（点此下载）。神奇的音响世界，妙不可言。它来自DG的唱片：

高能物理的没落

对一般公众而言，高能物理也许是个神秘而陌生的名词。然而只要提到夸克、黑洞、大爆炸，你可能就该点头了。没错，它们不仅是科普书用来吸引眼球的工具，也是高能物理中的重要概念。（不止一次，当我说到高能物理时，对方问我，“就是原子弹和氢弹吗？”我只好说，这些能量还不够高。）

简言之，高能物理关注的对象是微观世界。在极端微小、极端高能的环境中，相对论和量子力学的效应将占统治地位。那是一个与我们的生活经验迥异的世界。另一方面，宇宙早期和黑洞附近的物理也处于高能区，因此广义上说，它们也算是高能物理的范畴。

如果从1897年J. J. Thomson在阴极射线中证实电子的存在算起，高能物理至今已有100余年的历史。从J. J. Thomson以后，各种新奇的实验结果在20世纪初集体爆发。特别是放射性的发现，使人们真正开始关注原子这个从未被探索过的领域。而恰好在此时，相对论和量子力学的理论粉墨登场，为理解高能现象提供了有效的工具。高能物理作为一个新的领域，到这里逐渐成型，并迅速进入它的黄金时期。

随后的故事在一般科普书上都能找到。无论从理论上还是实验上，高能物理学家的视野随着能量尺度迅速扩张，从最初的keV、MeV，直到今天的TeV，横跨9个数量级。在此期间，无数新粒子从对撞机中被产生出来，于是和门捷列夫当年的工作类似，物理学家开始寻找新的“粒子周期律”。这个工作在70年代基本成型，它就是粒子物理的“标准模型”。随后的八十、九十年代，是“标准模型”的精确测量时期。到今天，标准模型的绝大部分预言，在对撞机上以千分之一左右、甚至以上的精度被证实了。

故事似乎到此结束。也是从80、90年代开始，伴随着巨大的成功，高能物理迅速走向衰落。它的辉煌如今已让位给凝聚态物理。据说，全世界三分之一的物理学家的专业是凝聚态物理。当然，相对于其它学科，整个物理学也进入了持续的衰退期。某些喜欢下结论的同学叫嚷，二十世纪是物理学的世纪，而二十一世纪是生物学的世纪。的确，对此我不否认。

高能物理为什么会衰落？这似乎不是问题。任何一个学科总有它的黄金期，也总有它的低迷期。我们所能问的是，为什么是此时？

如果你身处物理专业的圈子内部，也许你已经听到过无数种答案了。比如，最常见的回答是，高能物理学在今天进入到一种尴尬的境地：能量太高，以至于无法用实验检验；还有人说，只有一个标准模型，剩下的事情无非是修修补补。总之，缺乏足够的实验证据时，理论的发展会遇到各种困难。

这些流行的答案大抵来自物理专业领域的专家，包括高能专家和凝聚态专家。但是，对问题的某些貌似合理的回答，有可能更加遮蔽、而不是揭示了真相。

科学的专业化从18、19世纪起步，到20世纪已经进入高度成熟的阶段。从此开始，独立生长的科学便成为历史。这意味着，某些并非出自科学自身的因素，将隐性地决定科学向何种方向、以怎样的方式、以怎样的速度发展下去。

以高能物理为例。早期的核物理实验只需在一间小实验室中即可完成。卢瑟福、居里夫人的经典工作都是如此。然而在几十年之内，高能实验的规模就随着能量量级的迅速攀升而膨胀起来，以至于发展到今天动辄方圆27公里大小的实验装置。如果没有强大、高效的团队合作，没有足够的资金支持，这一切都是难以想象的。这些规模化实验的先决条件如何得以实现呢？历史告诉我们，国家的投入与组织至关重要。说到这里，如果你认为高能物理的唯一任务就是探索自然最基本的奥秘、寻找更深刻的理论——就像通常的宣传那样，你马上就会遇到困难：政府凭什么在贫困和饥饿尚未远离我们之时，还会将巨量资金投给那些为了满足无厘头的好奇心而搭建的巨型怪物？

事实上，当更仔细地考察历史后，我们将会得到一个令那些被惯常的宣传所蛊惑的头脑感到沮丧的答案。那就是，高能物理在二十世纪以近乎疯狂的速度发展起来，无非是因为各国政府在其背后的各种军事考虑。虽然对此更有说服力的解释应当建立在对历史上各国相关政策详细考察的基础上，但是我们在此处的猜测也并非空穴来风：只消注意到高能物理的飞速发展时期恰好对应于二战前后、以及冷战时期这一事实就已足够。不仅如此，我们还知道，高能物理的衰落期恰好在冷战结束前后到来。而与此同时，凝聚态物理、以及生物医学技术这些在和平年代显得更为重要的学科则迅速进入黄金时期。难道这一切都只是巧合？

的确，这些事实也许并不能说明科技政策的转向会决定性地影响一个学科的发展。但是我们还得注意到，科学发展的风向转变，并不是一个孤立的事件。因为，强大的集体潜意识不仅有能力把持具体科学发展的兴衰，还会动用各种舆论手段将这些既成事实拼命合理化。于是，我们就会听到上文提到的那些对高能物理衰落的解释。

其实仅从学科内部，这些解释也并非无可反驳。一般来说，一种学科只要能提出有意义、有价值的问题，就意味着它仍然具有生命力。在高能物理中，暗物质与暗能量的问题就是如此：它们都是理论与实验强烈冲突的地方，从而也是新知识的生长点。所以，说高能物理如今无事可做，显然是不负责任的说法。

然而话说回来，我们也得承认，历史上惨遭意识形态绑架的高能物理，它辉煌的历史也是灾难的历史。它制造了一次次核爆炸，引起了无数的死亡、伤痛和恐慌，在那些人类的梦魇中，它不经意地变成了帮凶。

如今，我们已经无法期望理论物理能如数学那样纯粹，尽管它那些美好而迷人的理论仍然在震撼着无数人的心灵。物理学家需要在现实与理想之间寻找出路，也许这寻找的过程是痛苦的，但也许，这现实与理想间的巨大张力，也正是理论物理区别于纯数学的刺激之处。

我想引用生物史家Stephen Gould一段有趣的讨论作为结束：

“科学就是一种通过社会嵌入的活动。它凭预感、远见和直觉向前发展。它的许多随时间发生的变化并不是记录一条越来越接近绝对真理的进路，而是记录如此强烈地影响科学的文化背景的风云变幻。”

 

今天的音乐是Maisky以大提琴演绎的三首俄罗斯小品：

1、The Lark（云雀）by Glinka

2、None but the lonely heart （只有孤独的心）by Tchaikovsky

3、Night（夜）by Rubinstein

点此下载。它们来自DG的唱片：

这三首都是经典的歌曲，其中第三首根据普希金的诗写成。Maisky本就以演奏小品见长，在这张专辑中，他如歌唱般的风格呈现出一种浓厚的感伤和忧郁。

对称性的量子破缺（二）

（引用一张著名的图片，不多解释了。）

（3）共形反常

上回说到，系统的尺度不变性，大体上源自系统无特征尺度。包含无质量带电费米子的经典电动力学那个就是一个例子。因为，负责传递电磁作用的光子和其它带电粒子都无静质量，而光子和带电粒子的耦合强度（正比于精细结构常数）本身无量纲，因此也不携带任何特征尺度。——请注意，这句话是值得怀疑的！因为虽然耦合强度不带量纲，但是它的数值本身如果会随尺度变化，则不难想象，它本身也将成为一种尺度的标尺。打个不恰当的比方：平面本身是尺度不变的，但是如果它带有颜色，而且当你变换尺度时它的颜色也发生变化，那你可以很自然地从它的颜色中认出当前的尺度，从而这种平面就不再是尺度不变的系统。

无质量带电费米子的电动力学正是这样一种理论：当我们将它量子化之后，它的耦合常数会随尺度跑动。也就是说，“精细结构常数”不再是常数：它只在低能尺度下是1/137，在大统一尺度（十几个GeV）附近，它将升高到1/80左右（请参考题图），也就是耦合变强了。用经典电磁学的语言，这意味着库仑定律在极微小的距离下将被修正。

为什么量子化会造成耦合常数的变化？下面是一种直观的解释。

所谓量子化，就是在理论中考虑进所有的量子效应的修正。量子效应，类似于热效应，表现为某种微观的涨落，这种涨落的强度由不确定性原理控制。而其效果，就相当于在真空中极化出（虚）粒子对。这样一来，真空就变得类似于某种介质，在电磁场的作用下发生极化。在电磁学中我们知道，介质极化的效果是使得从电荷从远处看来显得变弱了，这里也是如此。一旦能量升高，触及到真空的“极化层”内部，我们就能逐步穿破真空极化造成的屏蔽，于是我们看到的电荷会随着能量尺度的提高越来越强。

现在就不难理解为什么无质量带电粒子的电动力学会出现反常：因为量子化向系统引入了特征尺度。这种尺度破坏了经典系统的共形对称性，故称此为共形反常。

 

（4）规范反常？

此前的大部分内容都在讨论共形及其反常。作为结束，我们问，规范对称性是否会出现反常？

规范对称性最早出现在电磁学中：对电磁势作规范变换，不改变任何物理效应。为什么会有规范对称？惯常的解释是：无质量的光子只有两种偏振态（左旋或右旋），但我们却在用一个四分量的洛伦兹矢量来描述它，因此出现了多余的自由度。这些多余的自由度描述同样的物理，而之所以会有多余，完全是我们理论所使用的语言所致。因此，规范对称是一种非物理的对称性，或者说是“假的”对称性。说得严重一些，这种对称性是人为编造的。

既然是人为编造，那么就不应该反映在真实的物理中，于是我们猜测：规范对称性没有反常。

实际情形的确如此：在量子化的规范理论中，规范对称性被严格保持，它表现为量子效应不会修正光子（或者其他规范粒子，如胶子）的质量：它保持为零。

顺便说一句：著名的Higgs机制在文献中常被叫做spontaneous breaking of gauge symmetry（规范对称性的自发破缺）。这是一种极易引起误解的说法。规范对称性的本意就是非物理的对称性，因此它从不破缺。

最后留下一个简单的小问题：单纯的电磁场（不含带电粒子）是否有共形反常？单纯的Yang-Mills场呢？

 

今天的音乐是Ravel的钢琴四手连弹组曲： Ma Mere L'Oye（鹅妈妈）。

Ravel的音乐通常是法国音乐的典雅传统和印象派的糅合。这部略带东方情调的组曲显示出晶莹剔透的精致风格与梦幻般的绚丽色彩，都是Ravel音乐的指纹性特征。

这个版本来自两位重量级大师Pletnev和Argerich的联袂演绎：

对称性的量子破缺

——关于反常（anomaly），共形（conformal）和规范（gauge）的口水

（1）反常

建立量子理论的一般方法是，先写下一种经典理论，然后将它量子化。下文所感兴趣的是这样一个问题，即当一种经典理论被量子化之后，它所携带的各种对称性是否能完好地被保留下来。或者，量子化的过程是否会破坏经典理论的对称性。

乍看上去，这似乎的确是一个不好轻易下结论的问题。但之所以这个问题能被当做“问题”，是因为我们在上文中的提问方式。在量子效应破缺经典对称性的确凿证据被发现之前，物理学家们对这个问题不太当真。因为，最“自然”的想法是，量子理论“理应”携带经典理论的所有对称性。

我们今天已经知道，量子化的过程的确会破坏某些经典的对称性。不过，物理学家最初发现这种现象的时候十分诧异，以至于将之命名为“反常”（anomaly）。

为什么会有反常？为了回答这个问题，我们不妨问，为什么会有对称性？

经典理论的核心是作用量。当你给出一个作用量时，基本上就可以算是确定了一种经典理论。从而，一种经典理论具有某种对称性，即指它的作用量在相应的对称性变换下保持不变。

而在量子理论中，作用量并不是全部。或者，示意地讲，一种量子理论所包含的信息量要多于相应的经典理论。

在路径积分方法中，这一点很容易被看出：当我们写下一个路径积分时，可以说给定了一种量子理论。而在这个路径积分中，作用量只出现在被积函数中，充当一个相位的角色。在整个路径积分中，除了作用量之外，还有积分测度。这一部分也记录着理论的某些信息，而且往往是作用量所不知道的信息。

到这里，你也许已经发现，所谓反常，就是指，虽然作用量在一种给定变换下保持不变，但是路径积分中的积分测度并不保持不变。这样一来，整个量子理论就不再具有这种对称性。到此，我们可以说，反常来源于路径积分的积分测度。这的确是一个有说服力的解释，但也许不能让所有人满意。因为它过于抽象。为什么量子化会导致反常？我们希望有一个物理的解释。为此，下文用共形反常作为一个例子。但在此之前需要花一点时间说说“共形”。

 

（2）共形

我们从尺度说起。尺度变换是一个不难理解的概念：将一个系统放大或缩小若干倍，然后去考察这个系统会发生什么变化，这就是尺度变换。比如，《格列佛游记》中的小人国是否与我们过着相同的生活？稍加分析，我们会发现，当尺度缩小之后，系统的很多参数会发生变化。比如说，小人会比我们耐摔，从高空跌落所受到的伤害会比我们小。正如小人国的情形，在通常情况下，物理体系并没有尺度不变性。（对此更多有趣讨论，可见赵凯华先生的《定性与半定量物理学》。）

但是的确存在一些理想的具有尺度不变性的物理系统，比如，经典电动力学。如果系统中的带电粒子无质量，则此系统就是尺度不变的。

尺度变换是一种全局的变换，也即，全时空的坐标同时进行变换。不太严格地说，如果将尺度变换局域化，就得到共形变换。稍微严格的定义是，保持度规在相差一个系数f(x)的意义下不变的坐标变换，即为共形变换。请注意这个系数可以依赖于时空坐标，此即局部变换的所指。稍加推导，你会发现，共形变换包括通常的洛伦兹变换（平移+转动），局部的尺度变换，以及一种“特殊共形变换”(special conformal transformation)，实际上就是反演。

（多说一句，复平面上的共形变换就是解析变换，它们全体构成共形群，这个群是无穷维的Lie群，不过它有一个不变子群，即著名的Mobius变换全体。）

为什么会有共形不变性？或者更简单一些，为什么会有尺度不变性？

在经典理论中可以证明，如果理论的能量动量张量无迹(traceless)，则此系统共形不变。证明本身很简单，这里略去。因为此处所关心的是结论。如果你熟悉电磁场，请回忆电磁场的能量动量张量，它的确可以写成无迹的形式。因此电磁场是共形不变的。

当然，这个解释不够直观。但是我们也可以给出一个仅凭直觉即可理解的结论，那就是，若系统具有尺度不变性，则它必须不能包含任何非零的特征尺度。否则，这个特征尺度在尺度变换下的变化必将破坏尺度不变性。形象地说，平面、直线、射线、角，这些几何对象都是尺度不变的，因为它们不包含任何特征尺度。而矩形、圆形、网格则不是尺度不变的，因为它们都包含内禀的特征尺度。再举一例，两条相交的直线是保持尺度不变，而两条平行的直线破坏尺度不变。

在物理学中，尺度的含义比几何中的长度更丰富，因为在自然单位制下，长度具有和能量的倒数相同的量纲，因此所谓尺度，还包括能量、质量等等。经过上一段的解释，我们就不太难理解，为什么无质量带电粒子的电动力学会是共形不变的：因为出现在其中的所有粒子（光子与无质量粒子），以及单位电荷e本身，都不包含任何特征尺度。一旦带电粒子是有质量的粒子，比如电子，则尺度不变性就不复存在。

到此为止，我们已经做好了介绍共形反常的一切准备。关于共性反常的正题，请容我下回再写。

 

今天的音乐改为一段有趣的视频，关于Moebius变换。其背景音乐来自Schumann的Kinderszenen（童年情景）。

关于女性的两个科学问题

与室友闲聊时谈及以下两个关于女性的“科学”问题。一个尚未被解决，一个貌似已被解决。

问题一：女性经期与月相的关系。

简言之，为什么是“月经”而不是“周经”或者“季经”？为什么女性的生理周期与月秋的运行周期如此巧合的一致？

当然，作为科学，声称地球上某种高级灵长类动物的生理周期会作用于月球的运动，显然是不靠谱的。因此我们希望知道反过来的可能性，即，月球的运行通过怎样的机制影响到了女性的生理周期。

问题二：“罩杯”的严格定义

我以前不知道什么是“罩杯”，感谢室友的扫盲，我现在知道了，而且给出了一种貌似合理定义。严格的数学表述这里就不写了，大体上说就是，胸围作为测量高度的函数F(x)的一阶导的零点x1与三阶导的零点x3的函数值的差F(x1)-F(x3)。嗯，大致如此，不多解释。请懂微积分的同学们自行理解。

 

最后是音乐：Ronan Keating演绎的爱尔兰民歌，Carrickfergus。（点此下载）。

这是我最欣赏的一个版本。它来自Ronan献给去世的母亲的专辑：Songs for my mother。整张专辑都不错，推荐一下。

我对流行音乐一窍不通，就不多介绍了。

懒得从纳米盘下载的同学可以直接去google音乐上搜，只是音质欠佳。

涂鸦

（一）

凭借一副耳机，还有我钟爱的勃拉姆斯
我躲进世界的背面

（二）

如此奇妙的风景，就在斗室之内
它们嘲弄我苍白的辞藻

（三）

被思绪浸湿的心，我用整个下午的时间
将它晾干，可终于没有得逞

（四）

手边的草稿纸还没有来得及涂满
太阳便藏进了西山，不见踪影

（五）

寂寞，无关风月。它只是一口速溶咖啡
在舌尖挑起的滋味罢了

 

最后是音乐。Rachmaninov的Andante（点此下载）,

来自Piano Concerto No.1, in F sharp minor ,Op.1。

这正是那种旁人难以参透的寂寞

没有人能比Rachmaninov写得更纯粹

也没有人能比Zimerman演绎得更传神

人择原理，开普勒和宇宙

（按：此前贴过一篇有关人择原理的译文，见：人择原理。然而贴完之后意犹未尽，总觉得还有一些东西可补充，遂有如下文字。）

在物理学中，人择原理是可算是一个臭名昭著的命题。它的一种简化表述是：“世界之所以如此，是因为若非如此，我们就不会在这里观察它。”还有一种更野蛮的简化版：“世界之所以如此，是因为我们看见了它。”这些表述难免使人对其产生一种印象，即它们根本不能算是原理。一方面，它们无法给出任何观测证据；另外，更严重的批评是，它们有循环论证的嫌疑——果真如此的话，那将会是一个致命伤。

然而事情并非全然如此。人择原理，尽管被称为“原理”略显牵强，但仍然给出了一种回答问题的方向。为了将此解释清楚，让我们回到开普勒(J. Kepler)。

在开普勒时代，“宇宙”在人们的观念中的范围基本上与我们今天称为“太阳系”的区域相当。至于背景上的恒星，则可以被认为是固定在天球上不动的点。真正引起人们兴趣的，是那些有明显运动的行星。在当时，已被观测到的此类恒星包括水星、金星、火星、木星、土星，以及地球自己。很大程度上，对这些行星运动规律的解读就成了理解宇宙的核心任务。

十分神奇的是，开普勒在当时已有数据、以及哥白尼模型的基础上，提出了一个非常漂亮的理论。这个理论所要回答的问题是：为什么仅有的这几颗行星会以如此的轨道半径绕太阳运行。开普勒发现，如果把每颗行星所在的圆形轨道扩展成一个以之为赤道的球，则这些球之间的半径关系恰好使得仅有的五种正多面体嵌入到这些球面当中，如题图所示。

这个结果漂亮得令人瞠目结舌：它将宇宙中行星的运动规律——一个自然界中的事实，与五种正多面体——这个纯粹的数学结果——结合起来，正好实现了毕达哥拉斯关于宇宙是几何与和谐的构想。可以说，在此前后的任何一个宇宙理论，在美感上都无出其右。

自然，我们今天会觉得这个理论十分荒唐搞笑。当对这些行星的观测更加精确之后，人们了解到，行星轨道既不是正圆，而且这些轨道半径与正多面体之间也不会有任何关系。更重要的是，我们还知道，太阳系仅仅宇宙中是数量巨大恒星-行星系统中的一个，极其平凡的一个。因此各个行星的运行轨道半径，几乎不会由任何纯粹的数学原则直接支配。至于开普勒的模型，我们会很自然地认为是在一定精度限制下的巧合。

今天的宇宙学要回答的问题，不再是这些行星的轨道会有怎样的规律。相当令人震惊的是，今天的实验已经可以“称”出可见的宇宙的“总重量”，以及其中各种成分的比例。我们已经大致清楚，在宇宙的全部物质中，可见的物质大约占百分之五，暗物质占百分之二三十，而其它百分之六七十都是所谓的“暗能量”。

一个很自然的问题是，为什么是这么多？我们似乎可以用目前所掌握的理论去计算它。事实上，量子场论中的“真空能”似乎是暗能量的一个很好的来源。然而非常遗憾的是，我们没有开普勒那样幸运：用量子场论作简单估算所得的“暗能量”，比实验结果大出了10的120次方倍——这样大的数字本身都是难以想象的。有人称此为20世纪末物理学的一朵乌云。为了驱散这朵乌云，物理学家们有如八仙过海，各处奇招。超对称、第五元素，种种解释，不一而足。

可是，面对这样的窘境，为什么我们不回头想想开普勒呢？如果我们置身其中的宇宙只是千千万万个宇宙中很平凡的一个、恰如我们所在的太阳系那样，我们怎能保证，用这些光怪陆离的理论所编造出来的解释，不会和开普勒的嵌套模型一样荒唐可笑呢？也许，我们这个宇宙的许多基本参数，仅仅是在它诞生时，以某种相当偶然的方式被赋值、恰如太阳系中各个行星的质量，是由太阳系形成时气团碎裂而偶然决定的那样。若真如此，我们再去千方百计地试图计算出和实验一样的结果，也许就真的是在编造另一个开普勒模型罢了。

此时，真正自然的回答是，我们这个宇宙的各个参数之所以如此，是因为我们恰好在这个宇宙中，而不是在另一个宇宙中！这就是我想陈述的人择原理。

我们无法排除这种可能，但这是物理学家非常不喜欢的一种。一方面，与太阳系的情况不同的是，我们也许永远无法观测到我们这个宇宙之外的另一个宇宙。另一方面——也是更加重要——若真如此，物理学家对于这些基本的宇宙参量就会无话可说。你千万不要认为物理学家是那种为追求终极真理而孜孜不倦的神圣战士，就好像布鲁诺那样。实际情况是，物理学家所信奉的真理是，他们得有事可做。所以如果在前景不甚明朗的情况下出现了两种选择，一种说：这个问题完全无法研究，另一种说：有一种方法，但没有证据表明它是对的，那么物理学家一定会选择后者：有道是车到山前必有路。至于对错，咱走着瞧。

这自然是人择原理不受欢迎的另一个隐秘的原因。

 

最后仍然是音乐。两首根据经典歌曲改写的小提琴曲，适合放松神经。

第一首，猫王的Love me tender，过于经典，不多介绍。

第二首，大约诞生于上世纪30年代的歌曲，All the things you are，经典的爵士风格。

特别推荐这个改编版，质朴清新。他们来自由Davison和Davis合作的唱片Classic Heartstrings。

没有基本粒子

台球是基本粒子吗？——你可以这么认为。

 

不久前Science上出现了一篇宣称在实验上发现磁单极的文章，相应的科普新闻被纷纷转载：

Magnetic monopoles detected in a real magnet for the first time

对此，有同学惊呼物理教材将被改写，但也有不少同学觉得这是小题大做：因为实验中看到的磁单极是从多体系统中衍生而来的磁单极，而非高能物理中的某种基本粒子。显然，持后种观点的同学基本出自物理专业。

的确，对于一个接受了几年高等物理训练的同学而言，磁单极算不得新鲜。早在20世纪上半叶，Dirac就从理论上讨论了存在磁单极的可能性，而在当下大热的凝聚态物理中，磁单极的身影更是屡屡出现，不足为奇。

不过，另一方面，我想说的是，发现磁单极这件事，无论是发生在凝聚态物理的多体系统中，还是高能物理的加速器中，区别不大。因为你很难判断，这两种磁单极子中何者是基本的。

我已连续在两篇日志中鼓吹同一个观点：没有终极理论。在这一篇中，我继续鼓吹：物理学中没有基本粒子。

当你读到“基本粒子”这个词的时候，你一定会联想到原子、质子、电子、夸克，等等这一串的概念。历史上，人们对基本粒子的认识也正好形成了这样一串从原子到夸克的链条。在今天高能物理的标准模型中，夸克算是基本粒子了。但谁也不会认为它不可再分。

是否存在基本粒子，这仍旧是哲学问题，而不是物理问题。若仅从经验出发，我们无法回答它。哲学就是这样一种有趣的学问，它的历史充满了聪明的提问和错误的回答。当人们声称最终解决了一个哲学问题时，往往不是给出正面回答，而是最终发现，这个问题无法回答。

让我对上面的话作一小结，那就是：以“不可再分的基本单元”为内涵的“基本粒子”这个概念，是非物理的。

既然如此，物理学家所说的基本粒子，又是什么呢？

学过理论物理专业课（也就是四大力学）的同学都知道“拉格朗日量”（Lagrangian）。在物理中，如果你写下一个拉格朗日量L，就等于给出了一个理论。对此理论的进一步研究，很大程度上就是去摆弄这个拉格朗日量。虽然这套研究方法背后的原理并不简单，但是最终呈现出来的结果却出奇地直观。

让我来举一个例子：如果你希望描写一个电子e-和一个正电子e+湮灭成一个光子A，那么你只需要在拉格朗日量中加入这样一项：，也就是将光子、电子和正电子“乘”起来，而其中的C是一个我们并不关心的系数。更普遍的规律是，当你希望描写几个粒子a,b,c,……之间的相互作用时，你只需在拉格朗日量中将它们“乘”在一起。

以上略去了很多细节，这里不再解释，因为我们只关心一个问题：什么是物理学家所说的基本粒子。现在，这个问题很好回答：所谓“基本粒子”，就是出现在拉格朗日量中的粒子。

你马上会问：还有不出现在拉格朗日量中的粒子吗？

当然有。这种粒子中的一大类，被称作“束缚态”（bound state）。这个名字很形象：它表示，这种粒子是由出现在拉格朗日量中的基本粒子绑在一起所构成的粒子——所以当然不是基本的。比如，你的拉格朗日量里有电子和质子，那么将这两种粒子“绑”在一起，就得到氢原子。再如，以一个含有夸克的拉格朗日量为基础，就可以适当地用夸克“绑”出一个质子，或者中子，等等。

以上所说的“捆绑法”，只是产生新的“非基本”粒子的一种方法。另一种更有趣的办法，可以叫做“集体激发”，这里不再详述。利用这种方法，我们还可以得到诸如声子之类的粒子。传统教科书中称声子这种粒子为“准粒子”，意思是说它并非真正的粒子。这只是一种成见。按照我们此处的观点，声子和光子也许并无什么本质区别。

由此可见，在物理中，一个粒子是否基本，也是一个很任意的问题：这取决于你在拉格朗日量中写下了什么。所以，我们不用太介意某种物理现象是否基本。我们所关心的是，这种现象与它所处的粒子层次的关系是什么。 因为，人们目前已经知道，很多物理现象对它所发生的层次并不敏感，比如Dirac磁单极就是如此。关于这一点，我们下回分解。

 

最后为大家送上音乐。

Siciliana, from Flute Sonata in E flat major, BWV1031, by J.S.Bach（点这里进入下载页面！）

J.S.巴赫的长笛奏鸣曲，降E大调。第二乐章：西西里风格。

这段音乐来自柏林爱乐的长笛首席，帅哥E. Pahud与古乐专家Pinnock合作的唱片：

特别向不熟悉古乐的同学介绍：Pinnock先生演奏的乐器是Harpsichord，中文翻译似乎是大键琴。这种乐器是钢琴的前身。

简单和优美的包袱

（题图：Composition with Three Black Lines, by Mondrian, 1929）

前两天做报告，结束后有老师问我：“你做的工作对你关于世界的认识有什么影响？”他举Wheeler的例子说，物理学家曾认为构成万物的基本组分是粒子，后来又觉得是场，再后来又有人说是弦。

我回答说，我认为不存在终极理论。我没有详细解释，否则这位老先生一定会觉得我不知所云。当然，在上一篇博文中我已经提到了这件事。

关于终极理论是否存在、是否能为人类所认识，这不是物理，而是哲学问题。不过，尽管这些问题本身不是物理学家所研究的对象，但物理学家对它们一定有自己的认识，某些时候，这是一种信仰。例如，有人信仰物理学的简单和美。

追求物理理论的简单和美，这是科普作家们描写理论物理学常用的字眼。我相信很多进入物理领域学习和研究的同学都曾经被这样的描写所倾倒，至少我是如此。不过我不清楚，真正做研究的同学还在多大程度上持有这样的观点。

这不难想象。比如，对于一幅画的欣赏和理解，画家本人和旁观者不会相同。当我们谈到物理的简单和美时，我们其实是站在旁观者的位置上。一旦你进入细节，似乎并不能发现什么简单和美。在一长串繁冗复杂的数学公式面前，如果还有人念叨“简单和美简单和美”，我会感到很可疑。

尽管在研究中，我们常常只面对丑陋而不是优美，但我相信不少研究者仍然会抱这样的态度：物理理论应当是简单而优美的。

当然，这没有任何值得推敲的根据，所以纯粹是一种信仰。我猜，这种信仰是被爱因斯坦带进物理学中的。他的广义相对论是这种信念的绝佳范例。

“物理理论应该如何如何”，这是价值判断。在自然科学理论中掺入价值判断，是两千年前的亚里士多德才会做的事情。在牛顿理论的影响下，人们已经学会将价值判断隔绝于自然科学之外，没有人再视“圆周运动是完美的”这类命题为真理。而上面这种“物理学应当如何”的判断，我猜，物理学家只在茶余饭后才会想起来。

另一方面，相对论，被认为是20世纪初物理学革命性突破的代表之一。然而在今天看来，它更像是一种旧传统的终结者，而非新思想的开创者。它是经典物理学长链中的最后一环。而伴随它产生的“简单与优美”原则，更像是旧传统发挥到极致的表达，是一种强烈的信仰，或者迷信。只是这迷信的对象已不再是圣经中的上帝，而是斯宾诺莎的上帝。

“Einstein may have misled us a hundred years”，我记得文小刚先生在一次讲课中这样说。的确，简单和优美的原则肇始于对统一理论的仰慕和追求。对这种封闭、自洽、完美、统一的信仰只是人类思想史中一串被遗传了过久的基因。如果能克服对它的依赖心理，果断舍弃这个包袱，我们是否能前进得更轻松一些呢？

 

最后为大家送上一段音乐。我希望这能成为今后每篇日志的惯例。今天是：

Vivaldi：Largo, from Concerto per due violini, liuto e basso continuo RV93, Played by Rolf Lislevand

维瓦尔第：两把小提琴，琉特琴和数字低音的协奏曲，第二乐章：广板。此段音乐来自naive公司的唱片：

此段音乐特别献给我的家乡，如今她饱受骚乱和恐惧的折磨。愿她早日回复安宁。

文件上传于纳米盘，至少七日有效。当然，大家多多下载有助于延长有效期。