鸿沟与折腾

(题图：计算机生成的“艺术”图案。毕达哥拉斯时代科学与艺术单纯而美好的统一，如今只能以这样的方式呈现吗？)

关于文科与理科，是一个说不完的话题。自从近代科学学院化以来，自然科学的研究逐渐形成了自己独特的风气，这种风气大概是圈外人所不好理解的。随之而来的悲剧性后果就是文理之间日益加深的鸿沟。更可悲的是，两边阵营各自一手培养起来的同学们大多只知为自己一方摇旗呐喊，不思试图理解对方、修补裂缝。结果导致这条鸿沟成了一个正反馈的系统，或者说是自放大的系统。裂缝越来越深，越来越不可修补。

由于这个原因，在文科与理科这两种完全不同的语境中自由转换，在当下已经变得极其困难。在此种境况下，我们还要从高中开始就给每个小朋友贴上文科理科的标签，就更是雪上加霜。

从高中开始我成了一个理科生，到现在已经五年有余。现在停下来看看，要想同时脚踏文理这两条反向而行的船，只感到分身乏术。高中时虽然身处理科班，但是周围同学的文科素养不次于文科同学。再加上很多学理科吃不消的同学纷纷转投文科麾下，就给我们理科生灌注了一种奇妙的自大。我们一位高中化学老师就公然宣称，理科学不好，才去学文科。

然而高中三年下来，再加上大学两年多的疯狂洗脑，我发现自己险些成了只能读懂相对论的白痴。何也？原因太多了。总之，专业化过于严重。每个人都在挖坑，越挖越深，似乎很深刻，可是结果我们都成了坑里的大青蛙（难怪清华大学又叫青蛙大学）。可以打个比方：把一个生态系统中的某个物种隔离开来，放到另一种环境中独立培养。如果经过长期进化后，再将这种物种引回原生态系统，则这种物种一般会对原生态系统造成破坏。如果人类的知识是一个大的生态系统，那么自然科学就是一种被隔离了过久的物种。也就是说，相互隔离造成相互破坏。

克莱因(Felix Klein)说过，学习过多的数学对物理思维有难以觉察的毒害。这就是专业化的结果。同样，理科思维对文科思维也有相似的作用。这种作用至少在我目前所处的能级有效，至于在更高的境界上是否能达到统一，就很难说了。对我而言，最明显的例子就是行文风格。我现在见到的物理专业文献几乎都是用费耶阿本德所嘲笑的那种文风写成的。我说的就是那种冷静、中立、充满逻辑、面无表情的陈述。但又有什么办法呢？如果没有这种风格为依托，我们又如何实现数学的严格性呢？要知道，伽利略的文章风格在今天只有民科会效仿。

这种不近人情的写作对理科专业同学的影响也许远比想象中的大。试问，怎样的人才会用这样的腔调写文章说话呢？答曰，专家。据说百度知道为专家给出的“官方解释”是“专门骗大家”。抛开这一层意思不提，单就“专”的本意想开来，就已经够恐怖了。这叫我想起那些如他们的文字一样冷静、中立、充满逻辑、面无表情的高智商头脑。他们像一台台在无比精密的筹划下运转的计算机。这正是理智的疯狂。疯狂到了极致，就会炮制出令人惊悚的结果。不信，就请想想那些为希特勒发明集中营、发明毒气池、发明大批量屠杀人群方法的智慧的技术专家。如果不是他们聪明的大脑，谁能想象出那样廉价、那样有效率的屠杀技术呢？套用一句俗话：理智导致冷血。绝对的理智导致绝对的冷血。

写到这里，风闻教育部就高中取消文理分科一事向社会征求意见。看来困惑的不止我一人，只是困惑的人们各有各的困惑。今天的学校还在多大程度上保持着阿卡的摩的传统呢？我不得而知。与柏拉图的园子相比，我们的学校更像后工业时代的大工厂，为社会输出一批批的合格零件。至于大家就文理分科一事而举棋不定，大抵是下定单的客户自己也不清楚他们需要怎样的产品罢了。这就是转型期必经的“折腾”吗？我不知道。总之，折腾是他们的，我什么也没有。

V.Arnold论数学教育

（按：这篇文章我以前贴过，这里再贴一遍，因为实在是太精彩。Arnold是俄罗斯数学家。数学系和物理系的同学对他应该是太熟悉了。数学系的同学都知道Arnold精彩的《常微分方程》，而他的《经典力学的数学方法》一书在分析力学领域则是圣经般的著作。）

地点： Palais de Découverte in Paris 时间 1997年3月7日.

数学是物理的一部分。物理学是一门实验科学，它是自然科学的一部分。而数学是物理学中只需要花费较少的代价进行实验的那一部分。例如 Jacobi 恒等式（保证三角形三条高交于一点）就是一个实验事实，正如同地球是圆的（即同胚于球体）这样的事实一样。但是发现前者却要比发现后者需要较少的代价。

在20世纪中叶，人们试图严格地区分物理与数学。其造成地后果是灾难性的。整整一代的数学家在对他们所从事的科学的另一半及其无知的情况下成长，当然，对其他的科学就更无知了。这些人又开始把他们的丑陋的学院式的伪数学教给他们的学生，接着这些丑陋的伪数学又被交给中小学校里的孩子们（他们完全忘记了 Hardy的警告：丑陋的数学在阳光下不可能总有藏身之处）。

既然那些从物理学中人为挖出来的学院式的数学既无益于教学，又对其他的科学毫无用处，结果可以想见，全世界的人都讨厌数学家（甚至包括那些被他们教出来的可怜的学校里的孩子们以及那些运用这些丑陋数学的人）。这些先天不足的数学家被他们所患的低能症候群折腾的筋疲力尽，他们无能对物理学有个起码的了解。令人们记忆犹新的由他们建造的一个丑陋建筑物就是“奇数的严格公理化理论”。

很显然，完全可能创造这样一种理论，使得幼稚的小学生们敬畏它的完美及其内部构造的和谐（例如，这种理论定义了奇数个项的和以及任意个因子的乘积）。从这种偏执狭隘的观点来看，偶数或者被认为是一类“异端”，或者随着时间流逝，被用来作为该理论中几个“理想”对象的补充（为了遵从物理与真实世界的需要）。很不幸的是，这种理论只是数学中一个丑陋而变态的构造，但却统治了我们的数学教育数十年。它首先源自于法国，这股歪风很快传播到对数学基础的教学里，先是毒害大学生，接着中小学生也难免此灾（而灾区最先是法国，接着是其他国家，包括俄罗斯）。

如果你问一个法国的小学生：“2＋3等于几？”，他（她）会这样回答：“等于3＋2，因为加法运算是可交换的”。他（她）根本不知道这个和等于几，甚至根本不能理解你在问他（她）什么！

还有的法国小学生会这样定义数学（至少我认为很有可能）：“存在一个正方形，但还没有被证明”。

据我在法国教学的经验，大学里的学生对数学的认识与这些小学生也差不多（甚至包括那些在’高等师范学校’（ENS）里学习数学的学生－－我为这些显然很聪明但却被毒害颇深的孩子们感到极度的惋惜）。

例如，这些学生从未见过一个抛物面，而且一个这样的问题：描述由方程xy=z^2所给出的曲面的形状，就能使那些在ENS中研究的数学家们发呆半天；而 如下问题：画出平面上由参数方程（例如x=t^3-3t, y=t^4-t^2）给出的曲线，对学生来说是不可能完成的（甚至对大多数法国的数学教授也一样）。从微积分的入门教科书直到Goursat写的课本，解这些问题的能力都被认为是每个数学家应具备的基本技能。

那些喜欢挑战大脑的所谓“抽象数学”的狂热者们，把所有在数学中能与物理和现实经常 发生联系的几何统统排除在教学之外。由Goursat, Hermite, Picard等人写的微积分教程被认为是有害的，最近差点被巴黎第6和第7大学的图书馆当垃圾丢掉，只是在我的干预下才得以保存。

ENS 的听完所有微分几何与代数几何课程的学生（分别被不同的数学家教的），却既不熟悉由椭圆曲线 y^2= x^3+ax+b决定的黎曼曲面，也不知道曲面的拓扑分类（更别提第一类椭圆积分和椭圆曲线的群性质了，即 Euler-Abel 加法定理）。他们仅仅学到了Hodge 构造以及 Jacobi 簇！

这样的现象竟然会在法国出现！这个国家可是为整个世界贡献 了诸如 Lagrange ，Laplace, Cauchy 以及 Poincaré, Leray 还有 Thom 这些顶级的伟大人物啊！对我而言，一个合理的解释来自 I.G. Petrovskii, 他在1966年曾教导过我:真正的数学家决不会拉帮结派，只有弱者为了生存才会加入帮派。他们可以联结很多的方面（可能会是超级的抽象，反犹太主义或者 “应用的和工业上的”问题），但其本质总是为了解决社会生存问题。 我在此向大家顺便提一下 L. Pasteur 的忠告：从来没有也决不会有任何所谓的“应用科学”，而仅仅有的是科学的应用（十分有用的东东啊！）

长久以来我一直对 Petrovskii 的话心存疑虑，但是现今我越来越肯定他说的一点没错。那些超级抽象活动的相当大的部分正在堕落到以工业化的模式无耻的掠夺那些发现者的成果，然后再加以系统地组织设计使自己成为万能的推广者。就彷佛美丽坚所在的新大陆不以哥伦布命名一样，数学结果也几乎从未以它们真正的发现者来命名。

为避免被认为我在胡说八道，我不得不在此声明我自己的一些成果由于莫名其妙的原因就被以上述方式无偿征用，其实这样的事情经常在我的老师（Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin）和学生身上发生。

M. Berry 教授曾经提出过如下两个原理：

Arnold 原理：如果某个理念中出现了某个人名，则这个人名必非发现此理念者的名字。
Berry 原理：Arnold 原理适用于自身。

不过，我们还是说回法国的数学教育上来。当我还是莫斯科大学数力系的一年级新生时，集合论的拓扑学家 L.A. Tumarkin 教我们微积分，他在课堂上很谨慎地一遍又一遍地讲述古老而经典的Goursat 版的法语微积分教程。他告诉我们有理函数沿着一条代数曲线的积分可以求出来如果该代数曲线对应的黎曼面是一个球面。而一般来说，如果该曲面的亏格更高这样的积分将不可求，不过对球面而言，只要在一个给定度数的曲线上有充分多的double points 就足够了（即要求该曲线是unicursal ：即可以将其实点在射影平面上一笔画出来）。

这些事实给我们造成多么深刻的印象啊（即使没有给出证明），它们给了我们非常优美而正确的现代数学的思想，比那些长篇累牍的Bourbaki学派的论著不知道好到哪里去了。说真的，我们在这里看到了那些表面上完全不同的事物之间存在着令人惊奇的联系：一方面，对于相应的黎曼面上的积分与拓扑存在着显式的表达式，而另一方面，在 double points 的个数与相应的黎曼面的亏格之间也有重要的联系。

这样的例子并不鲜见，作为数学中最迷人的性质之一，Jacobi曾指出：用同一个函数就既可以理解能表示为4个数平方和的整数的性质，又可以描述一个单摆的运动。这些不同种类的数学对象之间联系的发现，就好比在物理学中电与磁之间联系的发现，也类同于地质学上对美洲大陆的东海岸与非洲大陆的西海岸之间相似性的发现。

这些发现对于教学所具有的令人激动的非凡意义是无法估量的。正是它们指引着我们去研究和发现宇宙中和谐而精彩的现象。

然而，数学教育的非几何化以及与物理学的分离却割断了这种联系。例如，不仅仅学习数学的学生而且绝大部分的代数几何学家都对以下提及的Jacobi 事实一无所知：一个第一类型的椭圆积分表示了相应的哈密顿系统中沿某个椭圆相曲线的运动所走的时间。

我们知道一个 hypocycloid 就如同多项式环中的理想一样是无穷无尽的。但是如果要把理想这个概念教给一个从未见过任何 hypocycloid 的学生，就好比把分数的加法教给一个从来没有把蛋糕或苹果等分切割过（至少在脑子里切过）的学生。毫无疑问孩子们将会倾向于同时分子加分子分母加分母。

从我的法国朋友那里我听说这种超级抽象的一般化正是他们国家的传统特色。如果说这可能是一个世袭的缺陷，我倒不会不赞成，不过我还是愿意强调那个从Poincaré 那儿借来的“蛋糕与苹果”的事实。

构造数学理论的方式与其它的自然科学并没有什么不同。首先，我们要考虑一些对象并对一些特殊的事例进行观察。接着我们试图要找到一些我们所观察到的结果在应用上的限制，即寻找那些防止我们不正确地把我们所观察的结果扩展到更广泛领域的反例。作为一个结果我们尽可能地明确提出那由经验得来的发现（如费马猜想和庞加莱猜想）。这之后将是检验我们的结论到底有多可靠的困难的阶段。

就这一点来说，数学界已经发展出了一套特别的技术。这种技术，当被运用于现实世界时，有时候很有用，但有时候也会导致自欺欺人。这样的技术被称为“建模”。当构造一个模型时，要进行如下的理想化：某些只能以一定概率或一定的精确性了解的事实，往往被认为是“绝对”正确的并被当作“公理”来接受。这种“绝对性”的意义恰恰是，在把所有我们可以借助这些事实得出的结论称为定理的过程中，我们允许自己依据形式逻辑的规则来运用这些“事实”。显然在任何现实的日常生活中，我们的活动要完全依赖于这样的化减是不可能的。原因至少在于所研究的现象的参数决不可能被绝对准确的知晓，并且参数的微小变化（例如一个过程初始条件的微小改变）就会完全地改变结果。由于这个原因我们可以说任何长期的天气预报都是不可能的，无论我们把计算机造的有多高级或是记录初始条件地仪器有多灵敏，这永远也办不到。

与此完全一样的是，公理（那些我们不能完全确定的）的一个小小的改变虽是容许的，一般来说，由那些被接受的公理推出的定理却将导出完全不同的结论。推导的链（即所谓的“证明”）越长越复杂，最后得到的结论可靠性越低。复杂的模型几乎毫无用处（除了对那些无聊的专写论文的人）。

数学建模的技术对这种麻烦一无所知，并且还不断地吹嘘他们得到的模型，似乎它们真的就与现实世界吻合。事实上，从自然科学的观点看, 这种途径是显然不正确的，但却经常导致很多物理上有用的被称为“有不可思议的有效性的数学”结果（或叫做“Wigner原理”）。

我在此再提一下盖尔方德先生的一句话：还有另一类现象与以上Wigner所指的物理中的数学具有相仿的不可思议的有效性，即生物学中用到的数学也是同样令人难以置信的有效。

对一个物理学家而言，“数学教育所致的不易察觉的毒害作用”（F.Klein 原话）恰恰体现在由现实世界抽离出的被绝对化了的模型，并且它与现实已不再相符。这儿是一个简单的例子：数学知识告诉我们 Malthus 方程 $dx/dt=x$ 的解是由初始条件唯一决定的（也即相应的位于（t-x）－平面上积分曲线彼此不交）。这个数学模型的结论显得与现实世界毫不相关。而计算机模拟却显示所有这些积分曲线在t的负半轴上有公共点。事实上，具有初始条件 x(0) = 0 和 x(0) = 1的曲线在t=-100 相交，其实在t=-100 时，你压根就不可能在两条曲线之间再插入一个原子。欧式几何对这种空间在微小距离下的性质没有任何的描述。在这种情况下来应用唯一性定理显然已经超出了模型所能容许的精确程度。在对模型的实际运用中，这种情形必须要加以注意，否则可能会导致严重的麻烦。

我还想说的是，相同的唯一性定理也可解释为何在船只停泊码头前的靠岸阶段必须得依靠人工操作：否则的话，如果行进的速度是距离的光滑（线性）函数，则整个靠岸的过程将会耗费无穷长的时间。而另外可行的方法则是与码头相撞（当然船与码头之间要有非理想弹性物体以造成缓冲）。顺便说一下，我们必须非常重视这类问题，例如，登陆月球和火星以及空间站的对接－此时唯一性问题都会让我们头痛。

不幸的是，在现代数学的教科书里，即使是较好的一类课本里，对这种令人崇拜的定理所隐藏的危险的事例或探讨都只字没有。我甚至已经形成了这样的印象，那些学院派的数学家（对物理知识都一窍不通）都对公理化形式的数学与建模的主要差异习以为常，而且他们觉得在自然科学中这是很普遍的，只是需要用后期的实验来控制理论推演。

我想用不着去提什么初始公理的相对特征，人们也都不会忘记在冗长的论述里犯逻辑错误是在所难免的（彷佛宇宙射线或量子振动所引发的计算崩溃）。每一个还在工作的数学家都知道，如果不对自己有所控制（最好是用事例），那么在10页论述之后所有公式中的记号有半数都会出问题。与这样的谬误相抗的技术也同样存在于任何实验科学里，而且应该教给每一个大学低年级的学生。

试图创造所谓的纯粹推导式的公理化数学的做法，使得我们不再运用物理学中的研究方法（观察-建模－模型的研究－得出结论－用更多的观察检验模型）取而代之的是这样的方法：定义－定理－证明。人们根本不可能理解一个毫无动机的定义，但我们却无法阻止这些有罪的 “代数－公理学家”。例如，他们总是想用长乘规则的手段来定义自然数的乘积。但用这种方法乘法的交换性却难以证明，不过从一堆的公理中仍有可能推导出这样的定理。而且完全可能逼着那些可怜的学生们来学习这个定理以及它的证明（其目的不外乎是提升这门学科以及教授它的人的社会地位）。显然，这种定义和这样的证明对教学和实际工作有百害而无一益。

理解乘法交换性的唯一可能的方式，打个比方就是分别按行序和列序来数一个方阵里士兵的人数，或者说用两种方式来计算长方形的面积。任何试图只做不与物理和现实世界打交道的数学都属于宗派主义和孤立主义，这必将损毁在所有敏感的人们眼中把数学创造视为一项有用的人类活动的美好印象。

我将再揭示几个这样的秘密（可怜的学生们对此很有兴趣）。

一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对应矩阵的列。如果学生们得知了这个秘密（在纯粹的代数式的教育中，这个秘密被仔细地隐藏了起来），那么行列式的整个理论都将成为多线性形式理论的一部分。如果用别的方式来定义行列式，则任何敏感的人都将会永远恨死了诸如行列式， Jacobi式，以及隐函数定理这些鬼东西。

一个群又是什么东东呢？代数学家们会这样来教学：这是一个假设的集合，具有两种运算，它们满足一组容易让人忘记的公理。这个定义很容易激起一个自然的抗议：任何一个敏感的人为何会需要这一对运算？“哦，这种数学去死吧”－－这就是学生的反应（他很可能将来就成为了科学强人）。

如果我们的出发点不是群而是变换的概念（一个集合到自身的1－1映射），则我们绝对将得到不同的局面，这也才更像历史的发展。所有变换的集合被称为一个群，其中任何两个变换的复合仍在此集合内并且每个变换的逆变换也如此。

这就是定义的关键所在。那所谓的“公理”事实上不过是变换群所具有的显然的性质。公理化的倡导者所称的“抽象群”不过是在允许相差同构（保持运算的 1－ 1映射）意义下的不同集合的变换群。正如 Cayley证明的，在这个世界上根本就没有“更抽象的”群。那么为什么那些代数学家仍要用抽象的定义来折磨这些饱受痛苦的学生们呢？

顺便提一句，在上世纪60年代我曾给莫斯科的中小学生们讲授群论。我回避了任何的公理，尽可能的让内容贴近物理，在半年内我就教给了他们关于一般的五次 方程不可解性的Abel 定理（以同样的方式，我还教给了小学生们复数，黎曼曲面，基本群以及代数函数的monodromy 群）。这门课程的内容后来由我的一个听众 V. Alekseev 组织出版了，名为The Abel theorem in problems.一个光滑流形又是什么东东呢？最近我从一本美国人的书中得知庞加莱对此概念并不精通（尽管是由他引入的），而所谓“现代的”定义直到上世纪20年代才由Veblen给出：一个流形是一个拓扑空间满足一长串的公理。

学生们到底犯了什么罪过必须经受这些扭曲和变形的公理的折磨来理解这个概念？事实上，在庞加莱的原著《位置分析》（Analysis Situs）中，有一个光滑流形的绝对清晰的定义，它要比这种抽象的玩意儿有用的多。

一个欧式空间R^N中的k-维光滑子流形是一个这样的子集，其每一点的一个邻域是一个从R^k到R^(N-k)的光滑映射的图象（其中R^k和R^(N-k)是坐标子空间 ）。这样的定义是对平面上大多数通常的光滑曲线（如 圆环 x^2 + y^2 = 1）或三维空间中曲线和曲面的直接的推广。

光滑流形之间的光滑映射则是自然定义的。所谓微分同胚则是光滑的映射且其逆也光滑。

而所谓“抽象的”光滑流形就是欧式空间的允许相差一个微分同胚意义下的光滑子流形。世界上根本不存在所谓“更抽象的”有限维的光滑流形（Whitney 定理）。为什么我们总是要用抽象的定义来折磨学生们呢？把闭二维流形（曲面）的分类定理证给学生们看不是更好吗？恰恰是这样的精彩定理（即任何紧的连通的可定向的曲面都是一个球面外加若干个环柄似的把手）使我们对现代数学是什么有了一个正确的印象，相反的是，那些对欧式空间的简单的子流形所做的超级抽象的推广，事实上压根没有给出任何新的东东，不过是用来展示一下那些公理化学者们成就的蹩脚货。

对曲面的分类定理是顶级的数学成就， 堪与美洲大陆或X射线的发现媲美。这是数学科学里一个真正的发现，我们甚至难以说清到底所发现的这个事实本身对物理学和数学哪一个的贡献更大。它对应用以及对发展正确的世界观的非凡意义目前已超越了数学中的其他的“成就”，诸如对费马大定理的证明，以及对任何充分大的整数都能表示成三个素数和这类事实的证明。为了出风头，当代的数学家有时候总要展示一些“运动会式的”成就，并声称那就是他们的学科里最后的难题。可想而知，这样的做法不仅无助于社会对数学的欣赏，而且恰恰相反，会使人们产生怀疑：对于这样的毫无用处的跳脱衣舞般的问题，有必要耗费能量来做这些（彷佛攀岩似的）练习吗？曲面的分类定理应该被包含在高中数学的课程里（可以不用证明），但不知为什么就连大学数学的课程里也找不到（顺便一下，在法国近几十年来说有的几何课程都被禁止）。

在各个层次上，数学教育由学院的特征转回到表述自然科学的重要性的特征，对法国而言是一个及其热点的问题。使我感到很震惊的是那些最好的也是最重要的条理清晰的数学书，在这儿几乎都不为学生们所知（而依我看它们还没有被译成法语）。这些书中有Rademacher 和 T?写的 《Numbers and figures》；Hilbert 和 Cohn-Vossen写的《plitz, Geometry and the imagination》；Courant 和Robbins 写的《What is mathematics?》；Polya 写的《How to solve it》 和 《Mathematics and plausible reasoning 》； F. Klein 写的《Development of mathematics in the 19th century》。

我清晰地记得在学校 时，Hermite 写的微积分教程（有俄语译本）给我留下了多么强烈的印象。我记得在其最开始的一篇讲义中就出现了黎曼曲面（当然所有分析的内容都是针对复变量的，也本该如此）。而积分渐进的内容是通过黎曼曲面上道路形变的方法来研究（如今，我们称此方法为Picard-Lefschetz 理论;顺便提一下，Picard是Hermite的女婿－－数学能力往往是由女婿来传承：Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U. Frisch 这个王朝就是巴黎科学院中另一个这样的范例）。

由Hermite 一百多年前所写的所谓的“过时的”教程（也许早就被法国大学的学生图书馆当垃圾扔掉了）实际上要比那些如今折磨学生们的最令人厌烦的微积分课本现代化的多。

如果数学家们再不睡醒，那么那些对现代的（最正面意义上的）数学理论仍有需要，同时又对那些毫无用处的公理化特征具有免疫力（这是任何敏锐的人所具有的特征）的消费者们会毫不犹豫的将这些学校里的受教育不足的学究们扫地出门。

一个数学教师，如果至今还没有掌握至少几卷Landau 和 Lifshitz 著的物理学教程，他（她）必将成为一个数学界的希罕的残存者，就好似如今一个仍不知道开集与闭集差别的人。

深夜的诗

两首去年的旧诗。

深夜读海子

坐在三行沉重的书架边
读一个遥远的故事

在我齐整的发梢之上
高原的天空升起

我安静而温暖的呼吸
藏在台灯背面
读一个遥远的故事

起风了
窗帘微微飘动

2008,3.26

 

把头深深地埋进手掌中

像一颗泪珠
滴落在黑暗深处

我把头深深地埋进手掌中

一缕天外的幽光
从浓稠的夜风中飘来
滴落
在我的掌心上

2008.4.9

给未知留一点空间

（题图：Rene Magritte: The False Mirror,1928）

和朋友聊天，对方说道，一个人没有信仰也挺可怕的。我深以为然。中国人自古缺乏信仰。可拿得出手的，也就是玉皇大帝财神爷云云，大多是塑像、烧香、磕头的功夫。至于有关ultimate concern的东西，那是绝对的非主流。中国人关心的是技术。咱们的科学技术史，大多是技术，绝少科学。比如数学，在欧洲，是“几何原本”，从希腊化时期到中世纪的大学都学它；在中国，则是“九章算术”——算学，而且祖冲之的算学似乎到唐代就已失传。

在20世纪的几十年里，中国传统文化的发展遭遇到史无前例的挫折。历史上我们的长城数度被北方骑兵攻破，但每一次的沦陷都丝毫没有影响到我们文化的发展与继承。这一切在20世纪被改写了。如今我们的与古代文化的断层已无法修复，但颇为讽刺的是，今天的人们完好地遗传了先人们实用主义的技术头脑，以至于在一般公众心目中，科学就是技术：小到激光照排，大到神n飞船，莫不是技术活。在这样的背景下，爱迪生的知名度比爱因斯坦还要高得多也就不足为奇了。

可是真正的科学精神关乎信仰，而非技术。在这一点上科学、宗教与艺术是三位一体。三者沿着真、善、美三个不同的方向共同仰望一个三棱金字塔的塔尖——那里是神秘与信仰的盘踞之处，也是我们人类精神赖以生存的根基。

然而人类不停地为他们的知识开疆扩土，越来越多的未知世界被他们无边的占有欲所征服。那些曾经绚丽辉煌的传说如今成了落满灰尘的怪物。耕作的农民不再相信土地爷而是相信化肥与农药，大夫们不再相信阴阳五行而是相信抽血化验。是的，科技是进步了，可是我们美好信仰的容身之所也被一次次地捣毁，只因为它们与所谓的“科学精神”相悖。如果这样的科学让我们的生活变得千疮百孔，那我们宁可不要它。

什么是科学精神？难道就是冷静的逻辑与精密的筹划？难道就是冷血的实验和残酷的发明？要知道，定量精确的研究永远只是手段，虽然是必要的手段。这种手段即使再高明，也不能成为科学精神的幌子。它们只是覆盖了科学精神的终极内核。

逻辑是很美，实验也是。但这就是全部吗？除了逻辑和沉默，就没有其他可能吗？为什么世界不能就是多元的呢？我们为什么会企图构造完美呢？维特根斯坦失败了，海德格尔失败了。我们会成功吗？我们会重蹈覆辙吗？为什么不能另寻出路？为什么非得一根筋？我们应当避免堕落成以逻辑为武器的蛮族。

请给我们那奇诡的未知世界留一点空间吧。也许用化学方程式和物理公式可以解释勃拉姆斯的音乐为什么如此迷人，可是再迷人的解释也无法解构勃拉姆斯神性的光辉。

 

数学无处不在

注意，题目是数学(mathematics)而不是算术(arithmetics)，因此是关于原理而不是关于应用。
本文试图收集这样一些数学原理：它们的正规表述可能极其抽象，但它们却有直观的解释。因此本文可以算是娱乐，但也许不仅仅是娱乐。

压缩映像原理：完备度量空间中的压缩映射存在唯一的不动点。
注记：这是分析学中一条非常基本的原理，又称Banach不动点原理。粗略地说，完备的意思就是没有“洞”。至于不动点，是指在“变换”的过程中保持不动的点。比如说，当你用筷子沿逆时针方向缓慢地搅动一杯水时，水会形成环流，虽然大部分的水都流动起来，但是环流中心一点处的水始终是不动的，这就是不动点。希望我拙劣的解释不要惹恼学数学的同学。
解释：在北京任何一处摊开一张北京地图，则压缩映像原理断言，地图上必然存在一点、且仅存在一点，使得，此点与它所指示的实际地点恰好重合。这个解释，我最早是从讲数学分析课的饶辉老师那里听来的。
追求严格性的同学，以及希望看到证明的同学，可以看看wiki上更专业的解释。

毛球定理：球面上光滑的切向量场必有奇点。
注记：这里的奇点包括无定义的点与取零向量的点。
解释：每个人的头上至少有一个“旋”。
对解释的注记：严格地说，虽然此解释流传甚广，但却是有问题的。没有哪个人的头发长满了整个头，因为头与脖子相接的里面那一块没办法长上头发。一般来说，人的头发都长在头上一块拓扑平凡的区域里（不讨论脱发者），因此理论上允许存在一颗不长“旋”的脑袋，比如，这个脑袋上的头发完全是从后向前长。

不过，可以将脑袋上长头发的方式再限制一下。比如，要求在长头发的区域的边缘上，所有的头发都向外长。加上这个限制，则这颗脑袋就一定有“旋”了。这个事实很好理解：如果一座湖只向外流水，但其水量不减少（不考虑蒸发和降水），则可断言湖中某处必有水源，例如有一个泉眼。这个泉眼就是湖的“旋”。这个结论还让我们联想到分析学中的Gauss定理。
更多更严格的解释，请参考wiki上的Hairy ball theorem。

Borsuk-Ulam定理：设f是从n维球面到n维Euclidean空间的连续映射，则球面上必存在一点，满足， f将它和它的对径点映到平面上的同一点。
解释：在任何瞬间，地球上总有一对对径点（即脚对脚的两点，如北京和布宜诺斯艾利斯），它们的气温和气压完全相同。
继续解释：由这个定理可以容易地证明下面的事实（虽然看上去完全无关）：
设两片面包片中夹了一片火腿，则不论摆放位置如何，总可以一刀切下去，将这个“三明治”切成一样大小的两半。我是说，上面的那片面包、下面的那片面包，以及中间的火腿，都被这一刀切成了体积相同的两半。
注记：还可以证明，如果夹了两片火腿，就不存在这样“等分”的刀法了。
继续注记：用Borsuk-Ulam定理还可以证明：球面不可能被三个闭集覆盖，如果球面上的任何点和它的对径点不同时属于这三个闭集中的任何一个。
最后，仍然是wiki的解释。

先写这些，留待以后继续补充。如果你还有更多有趣的解释，请告诉我。

补充说明：我得承认这些定理对于非数学专业的同学可能过于陌生了。如果你觉得我写的某些句子不知所云，就大可不理会它们。

后现代印象

（按：新开的blog空空如也，72松的文章也搬不过来。遂贴一篇旧文以充数。题图：Kandinsky: Composition IV。）

后现代主义。这至少是一个令我望而生畏的名词。

文明世界的各个领域到了二十世纪初被不约而同地引爆了。这场颇具隐喻意味的灾难使得我们在今天仍感到无所适从。当我们小心地回顾历史时，仍旧能感到惊心动魄的震撼。当神经质的尼采以先知的角色宣告“上帝死了”的时候，欧洲大陆还沉睡在世纪末的迷梦中。可是二十世纪就在这个瞬间无可争辩的疾驰而来，人类的视野被史无前例地扩张和加速。我们看到了毕加索精神分裂的立体主义绘画，看到了斯特拉文斯基的舞剧摧毁性的首演，看到了自己的骨骼被曝光于诡异的X射线之下，还有弗洛伊德泛性论的精神分析法、爱因斯坦神秘莫测的相对论，接下来便是人类历史上的空前浩劫——两次世界大战……
一向显得圆整优美的传统形而上学到此刻变成了硕大而无用的怪物，而历来以科学之王自居的哲学在十九世纪后迅速发展的自然科学面前捉襟见肘。也许，习惯于漫游在象牙塔中的哲学家们还不曾意识到外面的世界在以惊人的方式崩塌，尽管他们深奥玄妙的思想游戏已经触及到一个危险的边缘。

早期的现代性批判大师喜欢拿出自己的一套陈述。一些在以前被认为是某一种具体的活动到这里突然有了特殊的意义。“解释”、“写作”、“语言”，这些看来具体的行为变得至关重要。
人的思想有着无限的可能性。对思维的限制一旦被取消，多样性立即就成了主流。多元化，归根结底还是指人的大脑——思想是多元化的。
可是，后现代哲学的建设性远远落后于其破坏性。这种情况随着时间的推移变得越发的严重了。

后现代主义的哲学固有一种强烈的批判力量，这使得其思想具有强烈的破坏性。诚然，批判性能使我们不至于在沉醉于表面现象时变得懒惰，但我们在疯狂地解构传统的同时，却并不清楚自己在做什么、为什么要这样做。解构的乐趣大概如同发现新大陆一般，绕到未知的背后去宣布“不过如此”。可是，智慧的头脑在漫无边际地展开着这项游戏时，却没有理会这样一个事实：如果一切假象都被剥离，如果这个世界不再有遮蔽，那么仅存于我们面前的就只有一片精神的荒芜了。
虚无主义的边缘上也许的确藏匿着真理，或者至少显现着一些诱人的迹象，吸引着智慧的头脑向它不断逼近。因而，哲学家很难避免玩火自 焚的危险，因为大概没有哲学家愿意被戴上虚无主义的帽子。虚无主义像一个可怕的幽灵随时守候在一个个智慧的头脑旁边，等待其自投罗网。

后现代的哲学建立在现代性批判的基础上。在这里，理性和主体作为现代精神的根基被拆散。事实上，现代性自身的确有许多困难。但是，现代性是否需要在此时被取消却是一个需要慎重考虑的问题。我们回顾历史可以发现，宗教精神的统治地位被取消，发生在文艺复兴时期。宗教精神陨落之后，科学精神成功地取得了统治地位。科学在这几百年间取得了令人称奇的建设性的成果，尽管对科学的滥用也导致了许多问题。
可是，如果现代精神在此刻被取消，我们就需要一个新的替代方案。大概有人会立即后现代地攻击我这个讲法，他会说本来就不需要一个被定义为中心的偶像。不错。不过我无法想象一个精神无政府主义的世界会怎样地恐怖。
费耶阿本德也说过，他的哲学是治疗性的。他并没有试图摧毁现代性。
必须清楚一点：我们是人，而不是聪明的、会思考会辩论的机器。人的主体属性已经被消解，这没有关系。但我们仍然要注意到，人还有自然属性。比如，人不喝水是无法生存的。同样，我们大概真的需要一个偶像，作为精神活动赖以进行的基础。

今天，“后现代”已然成为一种时尚的标签。在一个意义崩解的世界里，任何不经过思考的、原初的、本能的行动被高度推崇。艺术在这个意义下被降格为生活方式，而行为本身成为对艺术的最终解释。于是，艺术变成了被压制群体和被排斥观念借以平反的战场。由于真伪和善恶的标准已不复存在，因而，自文艺复兴以来居于艺术中心地位的人性的光辉也消失了。深度的思考遭到攻击，代之以零度写作，甚至无意义本身也变成了行动的目标。说穿了，这就是虚无。
“后现代”这个名字被如此滥用，以致“后现代”在常人眼中成了怪物。本来诞生于最严肃的哲学研究的那些发人深省的思考，现在却成了一切不加思考同时又希望免受攻击的“流派”的挡箭牌。这是智慧对精神的亵渎。
后现代的悲剧。

我们今天置身于一个精神分裂的世界。一个人可能同时生活在几套不同的话语系统中。相互冲突的导向同时输入到我们的价值判断系统，最终导致信仰的漂变以致丢失。在这样的世界中生存是对每个人精神力量的考验，所以无怪今天人们的精神问题变得尤其突出。
似乎没有什么真实，有的只是符号。“世界成为图像”。我们面对大量无意义的符号，而我们虚构的意义来源于符号间的差异性。真实已经不再重要，我们只需要来自符号的刺激。一个巨大的、精致的虚拟世界包围着我们。由此导致的人的感情缺失，却也是通过虚拟的符号世界得到补偿。
这是后现代哲学绝妙的隐喻。

后现代思潮……似乎是解蔽的工具，却并没有使我们的生活更加澄明。也许，今天的混沌是社会自身演变的结果，不能归咎于后现代，甚至相反，后现代可以看成是一种对今天的混乱的救渡。但是，我们总还是希望，人类的精神变得更坚强一些。
如果立即停止思考，一切又复归于正常与黑暗。玩火的游戏，永远只属于不甘寂寞的普罗米修斯。

 

弦乐四重奏，进行中...

弦乐四重奏(String Quartet)：关于弦的东西。物理，音乐，和狂想。

作者 鲜于中之 目前是物理专业本科三年级学生，欢迎交流。

此前的博文发布在72松的博客弦乐四重奏上。然作者苦于72松的系统多发地震，故暂迁置此以避难。