精神病院隔壁的n次元世界

我已不记得自己在什么年纪时知道空间有三维，我也不清楚什么岁数的心智才足以理解“维”的概念——当然，是在直观的意义上。我只记得读小学时，同学的文具盒上印着“四维空间”四个字，我似乎还拿着这个文具盒去请教过数学老师。无论如何，对于有一点科学常识的成年人来说，理解我们所处空间的维数并非难事：空间有三维。如果把时间也算进来——虽然这会让大多数人感到别扭——可以说，我们生活于四维的时空。

可是对于住在精神病院隔壁的理论物理学家来说，想象着这个世界有更多的维数已经是家常便饭。的确，从第一个有意义的多维空间模型的诞生到今天，已经过去了九十年。我们都知道，Einstein于1915年左右建立的广义相对论将万有引力归结为时空的弯曲。而从德国数学物理学家Kaluza与Einstein的通信可知，不迟于1919年，前者就已将此几何化的世界推广到五维时空[1]。作此推广的动机是统一场论：与我们四维时空的弯曲导致万有引力类似，让第五维空间的弯曲解释电磁力，那么万有引力与电磁力就优美地获得统一。

“可我们的世界明明只有四维呀？”——这是额外维模型遇到的第一个麻烦。很快，1926年，瑞典理论物理学家Oskar Klein给出了解决方法：将那多出来的一维卷起来即可[2]。这背后的常识是，从远处看去，一根头发是一维的物体。可是更仔细一点，比如用显微镜看，你会发现，发丝也有粗细，因此其表面仍然是二维的。只是，那一维实在“太小”，在远处看去无异于不存在。与此相仿，只要时空的第五维卷得足够小，小到通过显微镜都看不到，那么人们平素所见的世界就仍然是四维的时空。

这就是著名的Kaluza-Klein理论。构造在此基础上的额外维模型，至今仍是基本粒子理论的热门候选者，并且有望在近期内由实验检验。不过这些还不是本文的重点。因为，我们希望离精神病院更近一些。毕竟，理论物理学家最擅长的事情就是得寸进尺：既然可以有一个额外的维数，为什么不能有两个、三个或者更多呢？

在弦论中，维数并不是预先给定的量。1971年，Lovelace第一次发现[3]，弦论中散射振幅的解析性要求时空的维数是26。这个数字在加入了超对称的弦论中变成10。然而无论是26维还是10维，如果人们指望这些理论能够描写现实世界，那么多余的维数都得在一个很高的能量尺度上被卷起来——请回忆，在相对论性的量子理论中，高能量对应于短距离。因此，额外维若存在，则必然出现在极其微小的尺度上。这也就是为何它们会影响到微观世界的粒子物理，却不会毁灭生活世界中人所共知的常识——你只需想想头发丝即可——维数总是随着能量尺度的升高而变大，无论在最初的Kaluza-Klein模型中，还是超弦理论中。

然而，这并非故事的全部。

2000年左右，几位物理学家在圈量子引力和Regge calculus的启发下发明了一种处理量子引力的数值方法，称为causal dynamical triangulation（CDT，因果性动力学三角剖分）[4]。其大致方法是，将时空作三角格子剖分，在此网格上加以一定的限制（如保持因果性等），然后研究格子本身的演化。如果你需要一个图像来理解这一点，可以想象水立方。人们希望通过此类数值计算跟踪量子引力的蛛丝马迹。CDT最引人注目的结果是，时空在Planck能标[5]变成了2维。并且，随着能量从Planck尺度下降到日常生活的尺度，维数由2渐渐升至4。注意，恰恰是在Planck尺度，量子引力效应起主导作用。因此可以说，量子引力生活在二次元的世界。


请注意，这幅图像与Kaluza-Klein模型是相反的：维数随着能量尺度的上升而下降！头发丝的类比在这里失效了。人们自然会问：这个二次元的世界究竟是指什么呢？如果没有“卷起来”的机制，那么又是什么机制保证2维的量子引力世界能退回到4维的世界呢？

可惜目前并没有理解这一点的直观图像，甚至也没有明确的机制能够解释，这个维数的变化是如何实现的。由于CDT是一种数值方法，它在提供答案的同时并不提供对答案的理解。

可以确知的是，这里的维数必然与我们通常所理解的维数很不一样。我们在经典或量子物理中所提到的维数，通常依赖于线性空间的结构。而CDT的世界是一个三角剖分的网格世界，其中没有通常意义下的线性结构。实际上，CDT所谓的维数实际是指“谱维数”（spectral dimension），这是从扩散过程中分布函数对时间依赖的幂次行为中提炼出来的概念。直观上，我们知道，对于相同的面积，离太阳越远，接收到的热量就越少，这个随距离减少的函数满足平方反比律。为什么是平方反比？——因为，所有以太阳为中心的球面都接受到相同多的热量，而这些球面的面积正比于球半径的平方，因此单位面积的热量按平方反比被稀释。仿照类似的推理，你会发现，在其他维数下，随距离按-2次方衰减的规律不再成立。你也可以找到此时代替-2的新的指数，并给出这个指数与时空维数的关系。根据此关系，知道了维数即可求出衰减指数，反之亦然。

这就是定义“谱维数”的出发点。虽然对扩散过程的讨论略有不同，但其精神是一致的。在CDT中，计算结果的确给出了分布函数随尺度变动的扩散指数，这就暗示了时空本身的（谱）维数在发生变化。

不过，比头发丝类比的失效更挑战直觉的结果是，这里的维数是连续变化的——可是维数难道不应该是整数吗？整数又如何连续变化呢？

虽然目前对维数变化的过程缺乏足够的理解，但人们已有了一些初步的尝试。最容易想到的解决方式当然是分形，即分数维的几何对象。分形在日常生活中无处不在：血管，河流，树枝，海岸线——它们都具有近似的分形结构。自然，这里的维数也不是线性维数，而是Hausdorff维数。

“分形”（fractal）一词提出于1975年，而就我所知，构造分形时空中的量子场论在上世纪80年代就已开始。然而这还不能满足我们的需求——分形的维数虽不是整数，却是一个固定的值，而我们所需要的维数，不仅仅是非整数，而且还要随着尺度跑动。不过，这样的结构在数学中也有对应，人们称为“多分形”(multifractal)。近两年，也有人尝试构造多分形上的量子场论，目前仍处在起步阶段。顺便一提，2009年大热的Horava-Lifshitz理论，在一定意义上也能复现CDT的结果，即Planck尺度下谱维数趋于2。

尽管理论上这一切还不甚明了，但很快已有人将其应用到现象学研究。今年2月份，Stojkovic的一篇文章[6]指出：如果时空真的在高能时变成3维、甚至2维，那么在不远的将来，人们即可通过粒子物理实验或者宇宙学观测检验之。比如，如果在某一个能量尺度下时空是3维的，则不存在相应频率的引力波——因为引力场在3维时空中没有传播的自由度。于是，宇宙早期原初扰动所产生的引力波必有一频率的上限。经过上百亿年的膨胀，这个频率已经红移到了引力波探测实验（如LISA）可以触及的尺度。

作此预言的条件是，时空从4维降至3维的尺度发生在TeV能量附近——这听上去难以置信，因为目前的粒子物理实验已经可以进入此能区，却没有明显的结果表明TeV尺度的时空是3维的。然而，该文作者声称，从宇宙线观测中，人们已经发现了TeV尺度上维数减少的迹象。看来，物理学家不仅自己很疯狂，还善于将这个世界变得和他们一样疯狂。

作为结束，我们顺便指出一个已有的暗能量模型[7]。该模型鼓吹，虽然我们的时空是四维，但在宇宙的尺度上是五维。我们再提到，量子引力的强耦合极限[8]指出，在远高于Planck能标的区域，所有空间维数将被冻结，只剩下1维时间。现在，整合所有这些图像，我们终于民科般地发现了一条伟大的存在之链：从远小于10的负35次方米到大至10的26次方米的广袤世界中：时空的维数从1经过2、3、4，直至5。我们人类，恰好存在于4维时空的尺度上。这，可以用《圣经》与《道德经》的结合以描述：

太初有道：道生一，一生二，二生三，三生万物。


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[1] J. Dongen, arXiv:gr-qc/0009087v1 (2000),
[2] O. Klein, Nature, 118, 516, Z. Phys., 37, 895, (1926),
[3] C. Lovelace, Phys. Lett., B34, 500 (1971),
[4] See, e.g., J. Ambjørn, Phys. Rev. Lett., 95, 171301 (2005),
[5] Planck能标大致在10^28 eV；作为对比，核反应的能量级大致是10^6 eV，化学反应的量级大致是0.1eV,
[6] J. Mureika and D. Stojkovic, Phys. Rev. Lett. 106, 101101 (2011),
[7] G. R. Dvali, G. Gabadadze, and M. Porrati, Phys. Lett. B 485, 208 (2000),
[8] 参见此前的日志：《让光线飞》，《关于上一篇日志“让光线飞”的技术性附注》.

对称性闲话（续）

在上篇日志结束的时候，我们得到这样的印象：没有理由认为经验世界中的对称性是严格成立的，因为我们甚至并不知道在经验世界中“严格”是否有意义。而另一方面，凡是可被经验的对称性一定可以被可观测的物理效应所破坏，否则，我们将无法通过经验判断这种对称性是否起源于语言的冗余。

为了更好地理解这个陈述，让我们考虑一个“完美的球体”。教科书给予我们的成见是，人们称这个球体具有球对称，是因为它在旋转变换下保持不变。可是，仔细考虑之后，你会发现，为了定义旋转变换，我们得预先在球上画好经线和纬线，也就是建立球面上的坐标系。通过指定经纬网格位置的变化，我们才能说对球体施加了一次旋转变换。

建立球面上的坐标系，这在理论上没有困难。真正至关重要的问题是，这个球体是否允许我们用一支记号笔在它的表面上将这个坐标网格画出来？——言下之意，我们是否可以“物理地”破坏球体的球对称？

如果这个问题的答案是否定的，也就是说，如果动用一切手段都无法确知这个球究竟是否发生了转动，那这将意味着，该球体的任何位形在物理上都是等价的——请注意，这是一个相当挑战直觉的情形。因为在此时，我们无法确知这个球是否发生了绕球心的转动，从而，其自转角动量将是不可测量的——你瞧，这是一个彻底的经验主义者必然会得到的结论。


实际上，从日常生活也能发展出类似的但不那么挑战直觉的例子——考虑镜子中的像。请站在一面镜子前，设想它是无穷大的平面镜，暂时忘掉所有关于平面镜成像原理的光学知识，暂时忽略所有我们世界中的所有手性。（这里的手性是指，绝大多数人心脏都在左侧，参与生物活动的葡萄糖都是右旋(D构型)，我们看到的中微子都是左手，等等。）此时，你所面对的世界就是一个具有镜像对称的世界。并且，动用一切物理手段，你都无法区分镜子的里和外，因为赖以作此区分的手性已经被我们忽略了——现在，你怎么知道自己不是镜子那边的你的像呢？换言之，我们将无法通过观察判断出一个物理过程究竟发生在镜子的哪一边。

所以我们有时也会见到这样的表述，即：对称性就意味着不可观测量的存在。

而我倾向于将这种情形下出现的对称性都叫做“规范对称性”。极其粗略地讲，规范对称性是非物理的对称性。这里的“非物理”应在存在着不可观测量的意义下理解。

明白了这些，你可以很快举出各种规范对称性的例子：能量零点的任意性（这里暂且不考虑引力）；量子力学中波函数相位的任意性；全同粒子编号间的交换对称性，等等。它们都和某些不可观测量相连。

不过为了避免误解，需要注意的是，当人们提到规范理论的时候，多数情况是指连续局部规范对称性。那些与基本相互作用相关的对称性即属于此类。

为理解基本相互作用中的规范对称性从何而来，让我们考虑一个简化的图像。一般而言，相互作用由无质量的、自旋为1（即螺旋度为1）的粒子传递。在3+1维时空中，这种粒子只有两个独立的极化方向（比如，光只有两个独立的偏振方向）。而量子场论中，与这种粒子的对应的量子场是矢量场（即规范场），它在3+1维时空中有4个独立的极化方向。这四个极化中，有1个对应于自旋0，3个对应于自旋1。如果用这三个自旋1的极化分量去描写一个本身只有两个独立极化的自旋1粒子，显然会多出来一个。这个自由度在描写零质量自旋1的粒子时没有任何对应——它就是规范对称性的来源。这个图像之所以是简化的，是因为我们略去了规范场自身的相互作用。用行话来说，后一种情形对应于非阿贝尔（non-abelian）规范场。

量子场论是一个局域的理论，在每个时空点上，场量的自由度都有冗余，因此相应的规范对称性在每个时空点上分别存在，这就是局域规范对称性中“局域”一词的所指。它意味着此时的规范对称性是非常大的。对于电磁场来说，这可以很不严格地写成U(1)×R^4。这样大的对称性会对系统的Hilbert空间带来本质的影响。如若这种对称性被破缺，后果很严重。所以，人们一般倾向于认为这种对称性是严格的（因为它的确来自语言的冗余），而那些整体对称性，包括上篇日志中提到的Lorentz对称性，一般是近似的（因为它们毕竟是物理世界真实的对称性）。

有人也许会对我们语言的冗余耿耿于怀，他们会问：倘若改用一种精炼的语言去描述我们的理论，是否就可以避免这种冗余、继而将规范对称性从我们的字典中驱逐出去呢？——这当然可以，但是要付出代价。就上面提到的规范场论，代价是：或者破坏时空对称性、或者容许鬼（ghost）的出现。其中，前者自然是人们不希望的，而后者是否会使人感到头痛，取决于你是否怕鬼。在规范场论的现代版本中，人们已经能够很好地理解鬼并控制它。我们在Hilbert空间中辟出一片空地专门供它们游荡，同时也能阻止它们出现在描写真实世界的区域中。这在场论中叫做BRST方法——四个字母分别来自四位物理学家的姓名。

至于为什么避免语言的冗余就可能破坏时空对称性，这可以用一个比规范场论简单地多的模型来理解：考虑一个点粒子在时空中的运动。我们知道，自由粒子沿测地线运动。对此可以用两种方法描写之。一是参数方程。取参数为s，在3+1维时空中，这相当于方程组t=t(s)， x=x(s)， y=y(s)， z=z(s)。这个理论自然具有一种规范对称性——参数的任意选取不改变物理。同时，这种描述还是Lorentz协变的——在Lorentz变换下上面的方程组形式不变。此时的规范对称性的确是局域对称性，因为重参数化可以由函数s’=s’(s)在测地线上逐点确定。同时，它的确来自与语言的冗余：即出现了多余的参数s。如果我们从上面的方程组中将它消去，并得到一组新的方程：x=x(t)， y=y(t)， z=z(t)，语言的冗余自然消失，但方程的Lorentz协变性也随即消失。

对称性闲话一则

（按：顾颖飞同学在“饥渴乐园”开了一个物理讨论小组，要我为他的“对称性”专题写点东西。他认为我之前的日志对低年级同学不够科普，故有此文。当然，这不意味着我对读者的物理背景没有任何假设。）

无论如何强调对称性在现代物理学中的作用都不过分。这不难理解：物理的目标之一似乎就是恰当地将纷繁复杂的自然现象约化为简单的规律。而对物理理论的审美态度大概正是来源于这种约化过程与艺术活动的相似性。在此过程中，对称性恰恰是一种约化现象的快捷方式，因而极容易激发人们的灵感，无论是科学的还是艺术的。

然而在这里继续解释什么是对称性将显得冗余，因为已经有太多介绍对称性的初级读物了，且其中不乏大师的精彩之作，而我不认为自己会比他们解释得更好。所以让我们以经验主义的姿态快速进入具体问题。

对于单个物体来说，对称性的存在容易确证。比如，观察一粒食盐晶体（如果能买到的话），你能发现某种对称性，尽管是近似的。事实上，如果仅仅关注这类例子，在现实世界中大概是没有完美的对称性。即使是实验室中磨出来的号称世界上“最圆的”硅球
，（图1）也不会完美。



（图1：为了更好地定义“千克”所磨制的硅球，号称是世界上最圆的球。即使如此，它也不是完美的。）


可是在理论物理中我们时常见到“时间平移对称性”，“空间平移对称性”之类的短语。初看上去这似乎荒诞不经：如果这个世界真是时间平移不变的，那房价自然是不会涨了，炒股也会变得无聊……继续想下去，不难发现，这样的宇宙将会变成一团均匀且永恒的浆糊。

于是，我们究竟是在怎样的意义上讨论“空间平移对称性”呢？惯常的回答是“物理规律”的对称性。亦即，描写物理对象的运动方程在“空间平移变换”的作用下保持不变。或者更严格一些，系统的作用量在对称性的变换下应该保持不变。可是，直接描写物理世界的，并不是运动方程本身，而是运动方程的解——它当然可以不是平移不变的。

如果可见世界并非平移不变，那我们如何知道它显现的物理规律是平移不变的呢？最简单的回答，是动量守恒。台球间的碰撞就是很好的演示（图2）。通过台球碰撞和行进的方式，我们判断出物理规律应当是平移不变的。当然，这也是在近似的意义下成立的：你需要忽略台球和桌面的摩擦、忽略碰撞时动能的耗散。如果需要的话，可能还得忽略台球与空气的摩擦。当考虑了所有可能产生耗散的因素之后，我们也许会下结论说，台球碰撞所遵循的物理规律是严格平移不变的。这与上面提到的食盐晶体仅具有近似对称性当然不同：时空平移的对称性似乎是更高级的对称性。

（图2：通过动量守恒，我们推测出物理规律的空间平移不变性）

可是这个回答另有玄机：是否存在不可排除的因素，导致时空对称性仍然像食盐晶体一样，只是近似成立的？的确如此。因为，“近似”是物理的内核，经验世界中没有“严格”的概念。事实上，在极大或极小的尺度，时空对称性都将遭到挑战。为理解这一点，只需注意到，我们为获知时空对称性（即Lorentz对称性）所依赖的动量守恒、角动量守恒须以惯性系的存在为前提。而在极大或极小的尺度，这都是成问题的。

在我们这个加速膨胀的宇宙中，并不存在全局的惯性系。简单地将狭义相对论的原理套用到这里会遇到麻烦。例如，我们的宇宙中的确存在一个“绝对参考系”——人们甚至可以通过观察宇宙微波背景辐射来测量我们银河系相对于这个绝对参考系的运动速度（图3）。所以，全局的Lorentz对称性在这里自然是不存在的。当然，你可以说狭义相对论在此失效；但如果以此回过头来攻击狭义相对论本身，那就很可笑了。




（图3：这是COBE卫星观测到的宇宙微波背景辐射。通过其温度分布的偶极行为，我们知道银河系相对于“宇宙的围墙”有非零的速度。）

  另一个极端是微观世界。就目前的理解，巨大的量子涨落将使时空在Planck尺度失去我们在日常生活中所经验到的连续性。黑洞在其中恰如沸水里的气泡一样不断产生和消失。当然，在这里讨论任何时空对称性是徒劳的。

人们甚至并不认为Lorentz对称性必须要到Planck尺度才失效。也许在目前实验可及的尺度，Lorentz对称性就会破缺。值得一提的是：量子场论中著名的CPT定理指出，一个场论在电荷共轭C、空间反射P和时间反演T的联合变换下是不变的。这个定理的证明须以Lorentz对称性为前提。因此，如若物理世界中CPT对称被破坏，那么Lorentz对称性也会破坏。事实上，在粒子物理中人们已经观察到了P破坏甚至CP破坏。看来CPT破坏只是一步之遥，Lorentz对称性也岌岌可危——只是这一步的大小仍未可知。这对于理论家来说十分重要：因为如何使一个本身破坏Lorentz对称性的时空在我们经验世界的尺度上将这个破坏巧妙地隐藏起来，在理论上也是一个困难的问题。

对于物理专业的同学，以上讨论未免过于老生常谈。可是对时空对称性的这种分析给我们两个提示。第一个提示是，但凡经验世界的对称性，在原则上都可以是近似的。换言之，没有任何先验的理由认为一种经验对称性应当严格成立。反之，如果物理理论中存在某种“严格”的对称性，那就很值得拷问这种对称性究竟是否是物理的。另一个提示是，我们能够经验到对称性的前提是，这种对称性一定能被可观测的物理效应所破坏。否则，如果运动方程和它的物理预言都具有这种对称性，那我们又如何知道这种对称性不是由我们语言的冗余所导致的呢？

可是物理理论中恰恰存在那种既在物理规律的层面上成立、也在可观测物理效应中满足的对称性——这就是规范对称性。以上文为基础，我希望能够解释清楚为何规范对称性是非物理的对称性。不过这篇日志已经足够长了，关于规范对称性的讨论，请容我下回再叙。

Forces to Reckon With （转载）

【转自Scientific American, Feb. 2011】

Forces to Reckon With

Does gravity muck up electromagnetism?

— George Musser

A magazine news story
on the unification of physics usually begins by saying that Einstein’s general theory of relativity and quantum theory are irreconcilable. The one handles the force of gravity, the other takes care of electromagnetic and nuclear forces, but neither covers all, so physicists are left with a big jagged crack running down the middle of their theoretical world. It’s a nice story line, except it’s not true. “Everyone says quantum mechanics and gravity don’t get along—they’re incompatible,” says John F. Donoghue of the University of Massachusetts at Amherst. “And you still hear that, but it’s wrong.”

The famous physicist Richard Feynman came up with a seamless quantum theory of gravity in the 1960s. It looks much like the quantum theories of the other forces. Just as photons convey the force of electromagnetism, particles called gravitons convey the force of gravity. Where the forces differ is that electromagnetism behaves in essentially the same simple way on all scales, varying only in its general strength, whereas gravity becomes increasingly rococo as you zoom into microscopic scales—signaling that the theory eventually gives way to a deeper one such as string theory or loop quantum gravity. But “eventually” is so far off that physicists can usually neglect the rocococity. In the 1990s Donoghue and others began to use Feynman’s theory as a working, or “effective,” theory; though not the final word, it closes up the crack between gravity and the other forces on medium to large scales.

In 2006 Sean P. Robinson and Frank Wilczek of the Massachusetts Institute of Technology applied the effective theory to see whether gravity changes the way forces vary in strength with scale. If gravity doesn't interfere, electromagnetism should become equal in strength to the nuclear forces at one scale and to gravity at a different scale. Robinson and Wilczek conjectured that gravity saps the strength of the other forces and causes them all to match up at the same scale. The idea didn’t pan out but did get people thinking about how the forces mess with one another.

Last November, David J. Toms of Newcastle University in England argued that even if gravity does not bring all the forces into line, it at least qualitatively reconciles electromagnetism with the nuclear forces. Neglecting gravity, electromagnetism intensifies as you go down in size, whereas the nuclear forces weaken. But gravity emasculates electromagnetism, causing it to behave like the nuclear forces on the very smallest scales.

Wilczek calls Toms’s paper “impressive.” Around the same time, however, Donoghue and his graduate students Mohamed M. Anber and Mohamed El-Houssieny cast doubt on the whole approach. Although gravity surely interferes with the other forces in some way or other, they question whether the effect is so straightforward as a tweak to the force strength. The rocococity of gravity should infect the other forces.

One reason physicists can reach such diametrically opposite conclusions is that the calculations are complicated and no one yet knows how to interpret them. “I really wish I had a physical understanding of what is going on, and I don’t,” Toms says. To paraphrase Ernest Rutherford, discoverer of the atomic nucleus, physicists don’t consider they have understood something unless they can explain it in plain language to a bartender. Fortunately for quantum gravity theorists, the bartenders of the world are a patient group.

蛋糕中的宇宙

最近在网上看到一款模样很诱人的蛋糕：

之所以说它模样诱人，不只是因为巧克力和牛奶的颜色，还因为其中另有玄机。请看：

1) 我们宇宙的能量的构成：

2) 我们宇宙中化学元素的构成：

3) 地球大气的化学元素构成：

下面两个稍微差一些，但大体的模样没变：

4) 地球海洋中的化学元素构成：

5) 人体中的化学元素构成：

关于上一篇日志“让光线飞”的技术性附注/外一则

昨天一位同学在人人网给我的留言使我意识到，有必要澄清一下上一篇日志《让光线飞
》中一个容易引起误解的问题。为了避免这篇日志沦为纯技术性的讨论，我会在最后加一个高中物理量级的小补丁。

《让光线飞》中提到的量子引力的强耦合极限，是一个很偏门的东西。最早意识到量子引力在远高于Planck尺度精确可解的文章，可能是Isham的文章[1]。后来也有人陆续研究这个问题，比如Kayoko Maeda和Makoto Sakamoto的文章[2]，这篇文章研究了从那个精确解出发做正规化和围绕展开的问题。

这个强耦合极限基本的物理图像已如上篇日志所述。更技术一些的解释，是Wheeler-DeWitt方程在Planck长度趋于无穷大之后就变成了超定域的（ultra-local）方程。所谓超定域是指，方程中甚至不含关于时空坐标的微商，这也就表明任何场都是不传播的，于是整个宇宙被冻成一团。

有些对理论物理略有了解的同学有可能会将这个和著名的AdS/CFT correspondence混在一起。后者是指一个AdS5×S5空间上的Type IIB超弦理论（其低能极限就是一个超引力理论）与边界上Super Yang-Mills理论的等价性。通俗地说，量子引力可以非微扰地用一个规范的共形场论描写。这大概是20世纪90年代理论物理最重要的进展了。请注意这和上面提到的强耦合极限不是一回事。

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好了，让我们放松一下。

前两天有位同学和我聊到这样一个问题：单就一个原子来说，电子和原子核的电磁作用远大于万有引力。可为何对于太阳这个由很多原子构成的系统来说，引力竟然可以与电磁作用相抗衡而最终达到稳态？

我想这个问题的答案对于中国同学来说是一点也不陌生的。很简单：因为引力虽然弱，但总是吸引，万众一心，所以很和谐；而电磁作用虽然强，但总有人唱反调。有反调就必然要被和谐，所以电磁作用在长距离上是被屏蔽掉的。对吧？被屏蔽了。你若不信，可拿google或者twitter啥啥的做做实验，有观察才能有收获嘛。至于实验方案实验步骤，请自行设计。

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[1] C. J. Isham, Proc. R. Soc. London A351, 209 (1976)

[2] Kayoko Maeda and Makoto Sakamoto, Phys. Rev. D54, 1500 (1996)

让光线飞

不论有多离谱，三人总能成虎。重复一千遍就成为真理，这不仅是谎言传播的经典模式，同样也是科学传播的标准套路。所以，物理中“惯性”这个词真是绝妙的概念：没有什么能比人习惯的惯性更大。

说到惯性，我相信有不少人会想过，在亚里士多德的同时代为什么没有诞生一个伽利略呢？给亚里士多德做一些自由落体实验、就像我们在中学课堂上看到的那些小把戏，那些所谓“力造成了运动”的论调不就不攻自破了吗？

问题当然没有这么简单，但也不难理解。只消注意到这个真理即可：没有什么能比人习惯的惯性更大。因此，再多的事实也不足以立刻推翻成见，因为在这些成见看来事实只不过是魔术。于是，科学知识（我避免使用“科学真理”这个词）的传播只能寻求与谎言扩散相同的路数了。

古代人很难理解，如若地球在高速自转，树上的苹果何以会竖直下落。你可以归咎于他们缺乏适当的生活经验，因为对于生活在今天的人们来说，理解这一点不再困难：只要在飞奔的汽车或飞机中抛一个苹果，分晓自见。

可见人们对自然地认识与他们的生活经验在一同演化（我也避免使用“进化”这个词），尽管这两者并不总是同步：比如，今天的人们都已知道，光速是每秒三乘十的八次方米，但我们同古人一样，在生活经验中对这一陈述的体认是相当匮乏的。这也就是为何狭义相对论对于初学者来说总会成为挑战直觉的利器。当然，一切的原因还在于光速实在太快了。假如我们能造出一半光速的飞机，事情就容易多了：你在飞机上会发现前面的天是紫的、后面的天是红的，然后，你下了飞机还得赶紧对对手表。所以，为生活所迫，你必须懂一点相对论。

相对论在我们这个低速的世界中显得如此离奇，大概是因为它有一种奇特的因果结构。与它相比，我们日常世界的因果结构就显得过于平庸了。为了下文的方便，我希望在此稍稍进入细节。进入细节的方法是使用“光锥”图。学过狭义相对论的同学对光锥当然不会陌生，不过为完整起见，还是让我来盗用《时间简史》中的一张图：

如你所见，将水波的图样按时间顺序依次排开，就得到了一个锥形，我们不妨称其为“水锥”。将水波换成光波，我们就得到光锥。显然，这个锥形斜边的斜率就代表了光速。

按照相对论，一切物理信号传播速度之上限即为光速。以此推理，你不难发觉，只有在该顶点之上、且处于光锥之内的时空点，方有可能接受到由原点、亦即光锥顶点处发出的信号——因为信号传播到锥形范围之外的点，需要比光速更快的速度，而这是相对论所不允许的。

光锥的确描写了一种因果结构。这句话的意思是，只有锥形内部的点方有可能与原点有因果联系。言下之意，位于锥形之外的时空点，即使在时间上出现于原点之后，今世也注定与原点无缘。因此对于锥外之点来说，其坐落的时刻在原点之前或是之后并无绝对的意义。事实上，倘若我们可以任意选取惯性参考系，就总可以将锥外一点的时间任意地变到原点之前或者之后。

在日常生活的世界中，光速可以被看成是无穷大。从光锥的角度看，当我们将光速变得越来越大时，这个光锥就越来越扁。若最终取到无穷大的极限，那些光锥就扁成了平面，如同《Tom and Jerry》被车轮碾过的猫。如此一来，因果结构就变得平庸了：在时间上位于原点之前（或之后）的点原则上与原点都可以有因果联系。

当你第一次读到这些异想天开的把戏时，一定会觉得够疯狂了。不过，何妨再疯狂一些呢？我们在上面讨论的是将光锥压扁的极限，或者叫让光速飞向无穷大的极限。反过来，为什么不能考虑另一种极限呢？如果将光锥收紧，让它变得像一根针那样，会发生什么呢？请注意，这种操作等效于将光速变慢。因此我们不妨问，光速趋于零的极限又是什么？

将光速变慢并不是什么新鲜事。早在1938年，伽莫夫（Gamov），就是鼓吹宇宙大爆炸的那位，在他的科普小说Mr. Tompkins in Wonderland中就已经玩过了类似的把戏。这在直观上也不难想象。你也许很快就会想到：如果“一切物体的运动速度都不得超过光速”这条禁令仍然管用，那低光速的世界就是一个乌龟和蜗牛的世界。如果可以更离奇一些，将光速趋于零，那这个世界就会被绝对地冷冻起来：整个宇宙将是一块真正的刚体，不论你信或不信，它就在那里，不生不灭。

听上去这是相当离谱了。然而它还没有离谱到与我们的世界没有任何关系。在以前的博文中我曾多次提到，当能量超过Planck质量（10的19次方GeV），或者等效地，当尺度小于普朗克（Planck）长度（10的负35次方米），现有的许多物理规律都将失效。归根结底，这是因为万有引力，不论是否需要量子化，在那里都将变得极不寻常。对于今天的理论物理学家来说，目前尚无可以用来处理量子引力的完整理论。普朗克能区的物理仍然是一片扑朔迷离，足以当得上“雾里”的大名。

可是故事并没有因此结束。关键在于，我们也许可以未得寸，先进尺——如果我们对普朗克能量的物理一无所知，那就不妨去考虑更高的能量。这相当于，探索比普朗克长度还要小得多的尺度，以至于10的负35次方米在此处都能被视作无穷长。

回忆普朗克长度的表达式：

（其中右端各量分别是普朗克常数、光速c和万有引力常数G），我们不难发现，如果希望趋于无穷，有两种招数：一是令万有引力常数G趋于无穷，而另一种则是令光速趋于零！而我们刚才的讨论表明，零光速极限下的物理将变得极其简单平庸，因此是可以精确求解的。绕过了普朗克能量的山重水复，世界在这里变得柳暗花明。这个精确解，物理学家们称之为“量子引力的强耦合极限”。

所以，纵使量子引力的硬骨头难啃，我们总算有了一种新的啃法；纵使普朗克能区易守难攻，我们也已对它们形成合围之势——当然，这不意味着我们可以很快拿下它。或许上帝还有足够的闲情逸致，在这里将三十六计给我们统统玩一遍。谁知道呢？如果一切尽在预料之中，岂不是太无聊了吗？

《规范场论》2011年春季学期课程

本学期何红建老师继续开讲的《规范场论》课程。如所周知，规范场论是现代理论物理学，特别是高能物理和理论凝聚态物理中不可缺少的基础。欢迎各位有志于理论物理学研究或者对此有兴趣的同学选修。

以下是该课程的基本信息，包括上课的时间地点与课程梗概。更详细的内容请参见课程大纲
。

Time and Location:

Time: Every Friday afternoon (1:30-4:55pm).
Teaching Building No.6B, Room.202, Tsinghua University.

Chapter 1. Why Gauge Field Theories (4-6hrs)

1.1. Why Quantum Field Theories: A Modern View
1.2. Why Gauge Field Theories
1.3. Vacuum Energy, Cosmological Constant and Dark Energy
1.4. Inflation as an Effective Theory
1.5. A Condensed Matter Application: Order Parameter

Chapter 2. Symmetries and Conservation Laws (4-6hrs)

2.1. Symmetries and Currents
2.2. Lorentz and Poincare Symmetries
2.3. Weyl, Majorana and Dirac Fermions
2.4. Finite Temperature Field Theory
2.5. Brief Review of Lie Groups

Chapter 3. Symmetries and Their Breaking (8-9hrs)

3.1. Global and Local Symmetries
3.2. Gauge Invariance and Geometry
3.3. Gravity as a Gauge Theory
3.4. Spontaneous Global Symmetry Breaking
3.5. Spontaneous Gauge Symmetry Breaking
3.6. Superconductivity as a Higgs Phenomenon

Chap.4. Path IntegralQuantization:Gauge Fields (6-8hrs)

4.1. Faddeev-Popov Quantization Method
4.2. BRST Symmetry and BRST Quantization
4.3. Ward-Takahashi and Slavnov-Taylor Identities

Chapter 5.Renormalization of Gauge Theories (11-13hr)

5.1. Renormalization Program
5.2. Renormalization Types and Regularization Schemes
5.3. Renormalizability and Gauge Invariance
5.4. Renormalization Group (RG)
5.5. Renormalization of Non-Abelian Gauge Theory at One-Loop
5.6. Asymptotic Freedom of Non-Abelian Gauge Theory
5.7. Background Field Method and Application to beta-Function

Chapter 6. Anomalies (4-6hrs)

6.1. Chiral Anomalies
6.2. Path Integral Formulation of Chiral Anomalies
6.3. Gauge Anomaly Cancellation Condition
6.4. Scale Anomaly

Chapter 7. Electroweak Standard Model & Beyond (12hr)

7.1. Structure of the Standard Model
7.2. The Standard Model Lagrangian
7.3. R_\xi Gauge Quantization and Feynman Rules
7.4. Higgs Mechanism and Equivalence Theorem
7.5. WW Scattering and Unitarity Bound
7.6. Radiative Corrections
7.7. Dark Matter and Particle Physics

Advanced Topics and Applications:

Standard Model: Electroweak Interaction, Neutrino Masses
Nonperturbative Aspects
Supersymmetry and Gauge Unification †
Perturbative Gravity †
Application to Cosmologies *
Applications to Condensed Matter Physics *

量子场论课程小结

首先，这不是对课程内容的总结。之所以写它，是由于某些一言难尽的原因，我做了一把本学期量子场论课的准助教。当然，这和诸如数学分析量子力学等等课程的助教在难度上不可同日而语——不用判作业、不用讲习题课（尽管讲了一次正课），不用判考卷——况且还是“准”的。即使如此，我也从中得到不少启发，值得为自己总结下来。

本课程的期末考核方式是口头报告。共有二十位同学参加了考核。报告的主题题材丰富，完整听下来自然有不少收获。不过我并不打算在这里讨论具体的内容。

说一下我的评分标准。从质量上看，所有的报告明显地形成三类。

第一类是对某个问题进行了深入的钻研和计算。这些问题有大有小，同学们完成的情况也各不相同。一些同学得到了明确的结论，而另一些或者没有做完整、或者是得到了并不正确的结果。但无论如何，从他们走的各种弯路上，我明显地感到，这些同学做了深入的思考和扎实的计算。

二类报告大致是介绍了某些现成的理论问题。不得不说，对于经验丰富的同学而言，以这种方式完成报告的确是省时省力的高性价比方案。前提是，他们对自己报告的内容有足够深入的理解和认识。然而这个前提往往并不容易做到。

第三类报告令人感到为难。这类报告几乎就是将现成文献上的内容抄到自己的幻灯片上，然后再原封不动地念出来。

下面是一点体会，大体上是老生常谈。但对其中不少问题，我在初次修这门课的时候也没有注意到。所以这也许并不全是废话。

让我来打个庸俗的比方。学习理论物理，尤其是量子场论，就像是一次旅游。我们知道，为了防止走失，一个好的导游是必须的。这个导游就是教科书。它的角色是向我们指出恰当的方向、打开视野。而一旦随之进入到具体问题中，此时，独自玩赏似乎才是最佳策略。因为，整个路途上完全跟随导游，听任其忽悠，就容易获得一种虚假的满足感：似乎所有景色已被一览无余，而事实上却只见到冰山一角。那些潜入水下的大部分内容，大多数导游是不会告诉你的，需要我们自己去走弯路。我现在有一种感觉：走任何弯路，只要足够弯，都不会一无所获。

如果离开这个比喻并做一总结，那就是，呈现在教科书的纸页上的内容只是表面，其内在逻辑需要读者自行挖掘。
另外值得注意的一点是，读理论物理的教科书有可能会沾上一个坏习惯。比如这次报告中，当某同学被问及一步推导的细节时，他会很熟练地这样回答：“我在这里就认为它是blablabla”、“我们就假设blablabla成立”，再或者，“我们现在只考虑blablabla这一种情况”。不知道从何时开始，我们这些当年学习四大力学时往往为了一个物理量的连续性假设而大肆批判教科书之严格性的同学，开始对那些漫不经心而模棱两可的表述泰然处之，以致油嘴滑舌。的确，这些句型时常出现在物理文献中。但我相信，它们的每一次出现都有其原因，以及其局限性。尽管这些原因并不总是物理的或数学的，而有可能是心理的。

最后，为我自己提个醒。一是，对写在幻灯片上的内容要有一定程度的理解，绝不要轻易将自己都不明白的句子抄到幻灯片上。二是，并不是越难越高深的题目就越好。真正的水平并不体现在这个方面。

卷土重来

这个博客近几个月来都没有更新，首先要向那些一直关注本博的同学道歉。至于停止更新的原因，我想不需要解释。这不是因为傲慢，而是因为根本就没有原因。写久了停一停，就像耕作了太久的土地需要休息一样，大概都是自然的周期。至于为什么从现在开始恢复更新，我想也没有特别的原因。一百三十七亿年前那场宇宙的大爆炸又有什么特别的原因呢？

我希望从现在开始恢复这个博客之前正常更新的状态，虽然也仅仅是希望而已。不过这仍然是一个很好的机会，让我保持时常写下一点东西，制造一些垃圾和噪音。我希望将它变成更为牢固的习惯。我想不出除了垃圾和噪音，还有什么能够更生动地标记人的存在。

我仍然会发不少在一些同学看来很“学术”的日志。当然，我知道我在人人网的好友中有不少同学对在这种社交网站讨论学术的做法尤其反感。如果您对我的日志感到不胜其扰，请屏蔽我的新鲜事即可。

废话结束。以下的篇幅，是对本学期讨论班的一个简短总结。

从这学期开始，我们一起读了Kiritsis的弦论。讨论班的人数随时间的变化经历了当初所预期的衰减。然而最后仍然有若干同学坚持了下来，这令我尤其感动。我相信他们和我一样都有不少收获，而且这些收获并不纯然是知识的增长。

总体上，Kiritsis这本书对我们而言不能算是一个成功的选择。在其他课程学习中存在的一个悖论，这里同样存在，那就是：将知识的表述简明化是以牺牲其系统性、严格性以及逻辑上的过度简化为代价的。

我们下学期还将继续读这本书，从第五章开始。尽管是这学期讨论班的后续，但我希望保持其相对意义上的自足性。这意味着没有参加过本学期讨论班的同学，仍然可以参加我们下学期的讨论。——如你所见，这显然是一个广告。

至于具体的安排，将在下学期开始前给出。

另：我也许（注意，是也许）可以在近期内逐渐整理出一些我们弦论讨论班的讲稿和笔记并贴在这里，供各位批评指正。同时，我也会将我们讨论班2010年夏季学期的大部分讲稿结集成册并在近期贴出来——那是一个由许多位同学贡献的、以量子场论为主题的五花八门的集子，敬请关注。



最后贴一张图片，以证明String theory并非和日常生活毫无关系。