人择原理（三）

人择原理

Victor J.Stenger

鲜于中之 译

（续上篇）

6、我们是宇宙的唯一？

 

我们生活在地球上，而不是水星、金星、火星，也不是太阳系中的其他已知星球。水星和金星太热，火星太冷。水星没有大气；金星的大气太厚，无法透过足够的太阳光；火星的大气太稀薄，无法提供足够的氧气和水。

地球的温度范围以及其他各种条件对生命来说都恰好合适。举例来讲，地球的大气对于太阳光谱的透射区域正好就是我们眼睛所敏感的区域。对此，人择的解释可以是：大气的透射谱经过了微调，以便地面上的动物和人能够相互看见。另外，大气对光谱的透过区，恰好也是太阳电磁辐射最强的地方。同样，人择考虑可以将此解释为，这恰好是为人的出现而设计的。但是，地球上能演化出生命，显然是因为条件合适。也就是说，地球上的生命形式对那些条件来讲是恰好的。

可见的宇宙中包含着数千亿的星系，每个星系包含数千亿颗恒星。除此之外，根据现有的宇宙学，在我们的视野边界之外，还有无法计数的天体。因此，我们的宇宙似乎有良好的条件在某颗行星上演化出某种形式的生命。的确，在外太空中，我们发现了许多种构成生命的化学物质，比如某些复杂的分子。当然，除非我们的确发现了地外生命，这个论断是无法被敲定的。

仍然有人预期，在我们宇宙中所能找到的任何生命形式都是碳基生命，或者至少是基于重元素的生命。微调解释意味着这是唯一的可能。然而，这是一个巨大而不合理的假设。即使我们宇宙中的所有生命形式都基于重元素结构，也不能排除在其他物理规律和常数的组合中演化出生命的可能性。仅此事实就能成为微调论断的一个致命打击。

对于搭建能够演化出生命系统的复杂分子系统，碳元素是最合适的砖块。即使今天，通过碳元素设计出来的各种新材料也表现出了各种出人意料而引人注目的性质，例如超导性和铁磁性。但是我们没有理由假设碳基生命是唯一的可能。

从目前已有的物理与化学规律出发，我们可以设想一些从硅元素、或者其他与碳类似元素的基础上演化出的生命。当然，对于我们宇宙所选定的各个参数而言，碳元素最合适。但是一旦参数有一点小变动，也许硅元素就是最合适的。无论用哪种元素做材料，我们总需要一个恒星系统来开启烹饪生命的过程。所以，我们需要宇宙足够老，以演化出恒星系统。

当前，我们只能推测其他行星上，当条件不同于地球时，生命会是什么样子。如果我们知道有其他生命类型的例子，那将非常激动人心。但是我们没有。更进一步呢？如果这个宇宙中的电子质量、电磁作用强度改变一点，或者干脆完全换一套物理，生命将会是什么模样？这更成问题。当这些条件有所变动时，我们完全没有能力回答，哪些条件不允许生命、或者别的某种什么东西出现在宇宙中。

 

7、多宇宙

 

如我们所见，宇宙学的种种参数并不需要为生命作特别的微调，比如上文讨论过的宇宙学常数。在我们目前所持有的一个较为合理的方案中，四种相互作用从最初的统一演化到今天的强度。而且，当这些参数在很宽的范围内变动时，恒星的寿命都足够长。人们期待在将来能够出现一个统一引力与微观物理的理论，并且能够用它计算出决定物质基本性质的很少几个参量。不过，即使这种期望在今天显得不太现实，现有理论也指出了回答人择问题的另一条出路。
例如，一种方案是：我们所在的宇宙，只不过是海量的宇宙中的一个，这些海量的宇宙构成了一个超级宇宙，我们称之为多宇宙（multiverse）。在这些宇宙中，各种参数以某种随机的方式被选定，而我们宇宙所采用的这组参数恰好能够创造出我们这种形式的生命。

有神论者对多宇宙模型报以嘲笑。他们认为，我们根本就没有其他宇宙存在的证据。不过别忘了，对于这些人所说的上帝，我们同样也没有证据。至少在多宇宙模型的情形中，我们有建筑在实验数据的基础上的坚实的物理理论，而这些理论允许多宇宙的存在。而且，当前极其成功的暴涨模型暗示，导致我们宇宙出现的那个自发事件很可能已经重复发生了许多次。虽然这一点仍属于猜测，但这个猜测是建立在良好的科学与观测数据基础之上的。但是对造物主上帝存在性的猜测，既无科学也无数据作为基础。

另外，有几位评论家曾指出，多宇宙模型违背Occam剃刀法则。这是错的。Occam剃刀作为一种节俭原则，其本质在于，它禁止了必要理论假设之外的画蛇添足，而不是禁止在我们这个宇宙之外添加别的宇宙。比方说，虽然对于一个热力学问题，用原子理论解决它时，将引入大约10的24次方个对象，但原子理论并没有违反Occam剃刀。因为，它提供了一套更简洁、更强大、更经济的规则，而且这套规则的确为热力学系统所遵守。

事实上，多宇宙模型与我们目前的所有物理学和宇宙学知识都相容。引入多宇宙并不需要额外的假设。正相反，要想排除多宇宙模型，才需要额外假设存在一个超级的宇宙规律，它只允许一个宇宙存在。这反而是一个不经济的假设。就另一方面来说，我们也没有任何基础来假设只有一个宇宙。看来，有神论者们的论断需要两个既无理论支持、也无数据支持的假设：1，只有一个宇宙；2，上帝存在。

 

8、生命原理？

 

尽管宇宙对于生命而显然具有非同质性，但生命还是存在着。仍然有人认为这是非同寻常的现象。对此，物理学家Paul Davies提出，应当有一种生命原理（life principle）内嵌于物理学规律中，或者内嵌于宇宙的本质中。

显然，我们在现有物理学、化学与生物学中从没有见到任何基本生命原理出现的迹象，亦即没有出现任何生命活力（élan vital）将生命与非生命区分开来。Davies猜测，“法则与偶然的精巧混合也许可以被推广到宇宙学，从而产生自简单到复杂，再到生命与精神的直接演化。”

Nobel奖得主、生物化学家Christian de Duve与生物学家Stuart Kauffman亦持有相同观点。他们似乎都将生命原理视为某种尚不清楚的，具有整体性与目的论导向的自然法则。而Nancey Murphy等神学家则将这种观念称为非还原的物理主义（nonreductive physicalism），他们相信，在这个框架内，可以找到上帝与心灵的居所。同时他们也承认，在现代神经科学的各种证据面前，灵魂与肉体二分的传统观念已无容身之处。

可是，计算机模拟的结果指出，从简单到复杂的演化，可以纯粹通过人们熟知的还原性的物理过程来实现，这其中并不需要任何高高在上的整体性指导法则。所以，如果所谓的生命原理真的存在，它也只不过是一个层展规律（emergent principle）。这种规律存在于混沌系统与复杂性理论中，它们起因于物质粒子间非线性与耗散性的相互作用，当然，这种相互作用仍然是局域性的。因此，此类规律不应被视为新的物理规律，因为它们可从已有的物理规律推出，这即使没有直接的数学证明，也可以通过计算机模拟来实现。

 

9、微量的复杂性

 

也许，正如我们在这个宇宙所见到的那样，任何一个随机的宇宙，不论其性质如何，在随机性的宽广海洋中，最终至少都会自然地发展出微量的复杂性。与多数人的印象相反，在我们这个宇宙中，复杂性并非普遍存在。例如，比氢原子还常见十亿倍的宇宙微波背景光子，它的随机性只有十万分之一。我们平日里所见到的东西，无论是在天空中还是在我们周围，给我们的印象总是它们复杂性。然而这些日常可见的物质只占到了整个宇宙0.5%的质量。也许，我们的确不需要造物主，也不需要多宇宙，去解释这种对偶然事件的微小偏离。

我发现，神创论者为了证明存在造物主而做出的两种推理相互矛盾，这是很搞笑的。有时候你甚至能听到同一个人谈论这两种推理。其中，第一种推理是有关微调的论述。他们说，宇宙对于生命而言在各个方面都如此具有同质性，可见它必须是被创造出来的。可是，如果宇宙真的是如此同质，那么生命的出现理应是一个自然的过程。第二种论述经常被创生论者与反进化论者提及。他们说，宇宙对生命而言具有如此的异质性，因而生命必须是被创造的。在这种情况下，生命极不可能是自然演化的结果，因而必定是某个智慧的设计者所创造出来的。然而如果真是这样，生命就会很轻易地成为一个不可能发生的偶然。

如果宇宙不由上帝创造，那么它看上去就应当和我们所期望的样子相像。从这一点我们可以断定，在排除了合理性怀疑的情形下，上帝是不存在的。

（完）

人择原理（二）

人择原理

Victor J.Stenger

鲜于中之 译

（续上篇）

4、微调：旁观者的游戏？

 

电磁作用的强度由单位电荷e决定，它是一个电子所带的电荷。上文中的人择条件1声称，单位电荷e作为常数，需要被精细调节到距离其“自然值”很远的地方，以使恒星有足够长的寿命来支持生命的出现。

然而，e不是常数。从今天极为成功地描写了粒子与力的标准模型看，单位电荷e以及其他相互作用力的大小随着能量尺度而变化，而且在宇宙大爆炸后的一秒钟内变化得非常快。按照目前的理解，在大爆炸开始时极高的能量条件下，四种相互作用力统一成一种，就像Weyl所说的那样“自然”。换言之，单位电荷e的确开始于它的“自然值”。此后随着宇宙渐渐凉下来，这种统一的相互作用通过人称“对称性自发破缺”的机制分解成四种。与此同时，单位电荷e以及其他作用力的强度也逐渐演化到稳定值，与我们今天在很低能量下的经验一致。恒星形成，以及伴随其后的生命出现，都得等到这些相互作用分解得足够开。不过实际上这只需要等待非常短的时间：与一秒钟相比都微不足道。

为了指定宇宙方方面面的各种性质，实际上只需要四个参数，正如今天我们所知的：电子的质量、质子的质量、电磁作用的强度，以及强相互作用的强度。我曾经研究过典型恒星寿命的最小值如何依赖于前三个参数：将它们在今天的取值变化十个量级，我发现半数以上恒星的寿命将会超过十亿年。

为了合成足够的重元素，大恒星需要存活一千万年或者更久。小的恒星，例如我们的太阳，也需要有超过十亿年的寿命，以保证在其周围的行星中能演化出生命。实际上，直到大爆炸之后九十亿年，地球才出现。看来这些参数在相当宽的一个范围内都能满足恒星的“长寿”要求。显然，宇宙参数不能仅靠这个条件来微调。

大部分对于人择条件的研究中有一个共同缺陷，那就是只变动一个参数，同时假设其他参数不变。另一个极为错误的假设是，这些参数之间相互独立。多数研究将这些错误混合在一起，去计算一些没有意义的概率。而在我的研究中，几个参数可以同时变动。

在一篇引人注目的论文中，物理学家Anthony Aguire独立地审查了当六个参数同时有量级变动时，宇宙会有怎样的行为。他发现可以构造出这样一个宇宙，在其中“恒星，行星与智慧生命貌似可以很合理地出现”。

标准模型含有大约20个不能由理论本身确定的参量，目前只能通过实验获得它们。然而，只需其中四个参量，就可以确定物质大部分的性质。这四个量是：电子的质量，上下夸克的质量（由这两个质量可以确定质子与中子的质量），以及一个普适的作用强度（由它可以确定单位电荷e以及其他相互作用的强度）。人们梦想，最终，这些参量都可以被一个统一了标准模型与万有引力的理论（比如说，弦论）所确定。按照这个思路，我们只能等待，看看理论计算出来的电子与中子的质量是否能满足前文提到的人择条件3、4。除此之外，另一种想法是这些参数可以是随机的。后面我们将会考察这种想法的可能性。

在神学文献中，往往能见到很多关于人择条件的例子，然而它们往往产生于对物理学简单粗暴的误读。比方说，微调光速c，Planck常数h以及Newton引力常数G等参数，诸如此类的讨论都是不恰当的。因为这几个参数实际上是任意的，它们的取值只决定于你用怎样的单位。

与此同时，某些人鼓吹的“值得注意的”高精度其实容易造成严重的误解，因为这些精度实际上依赖于单位选取。例如，神学家John Jefferson Davis声称：“如果中微子的质量是5乘以10的-34次方而不是-35次方千克，那么由于它们在宇宙中含量丰富，多余的质量就会造成宇宙的收缩而不是膨胀。”听上去这似乎是微调了10的35次方的量级，然而正如哲学家Neil Manson所指出的那样，这个说法其实就好像是：“如果Michael Jordan的个头比10的16次方分之一（也就是1米）更小，那么他就不会成为最伟大的篮球运动员”。顺便提一下：Davis对中微子质量的估计并不精确。实际上，我们现在尚不知道每种中微子的质量，因为实验上只测到了各种中微子之间的质量差。而且，如果中微子的质量增大十倍，并且在宇宙中的含量同时减小十倍，则它们对宇宙引力的贡献不会变化。所以从各个角度看，这种关于中微子质量的微调论断都是失败的。

接下来让我们考虑人择条件5，它断言为了产生碳元素，需要微调机制。对此，Nobel奖得主、物理学家Steven Weinberg指出，恒星中合成碳元素的过程并不十分依赖于Hoyle所预言的7.65MeV的核能级，而是依赖于由三个铍原子核所合成的放射性碳原子核的状态。而这个状态离达到碳合成的要求还差20%。不过，正如Weinberg所说，“毕竟关系不大”。

简言之，微观物理中大部分所谓的微调问题其实都是一些旁观者提出的。这些人并不十分精通物理，但是却不断地玩弄数字，直到出现一个支持他们信仰的结果。可是，这些信仰往往并非来自客观的科学分析。

 

5、真空能难题

 

尽管人们一般认为真空是既无物质也无能量的虚空，但是引力势能的确可以贮藏在空间的曲率中。另外，量子力学理论显示，真空具有零点能，它是能量的最小点。

Weinberg大概是高调谈论真空能难题（即上文中的人择条件2）的第一人。他将此难题称为“宇宙学常数问题”，因为在Einstein的广义相对论中，真空能等价于一个宇宙学常数，它描写了空无一物的空间的曲率。

理论计算所获得的真空能密度，比实际观测所允许的最大值，还要大出120个量级。由于真空能密度是常数，故而在早期宇宙中，似乎的确需要120个量级的微调，以使今天的密度允许生命的存在。

直到最近，人们仍然认为真空能密度很有可能严格为零，因为在这种情况下不需要微调的操作，宇宙学常数问题就可以被消解了。然而在1998年，两个独立的研究组在对远距离超行星的研究中令人吃惊地发现，宇宙在加速膨胀。新近的研究也证实了这个结果：宇宙在向上落！宇宙加速膨胀的来源被认为是某种尚不清楚的“暗能量”，它们构成了我们宇宙总能量的70%。对于暗能量，一种可能的解释是，宇宙学常数产生了排斥性的引力，也就是说，广义相对论允许真空能产生排斥性的引力。

如果这是事实，那么宇宙学常数问题将再次浮出水面。然而与此同时，我们现在可以较为合理地认为，原先对真空能的计算是不完全的，恰当的计算实际上可以给出严格为零的真空能密度。在这种新算法被推翻之前，我们还不能下结论说，真空能就是为生命而微调过。因此，也没有强烈的必要去祈求造物主神灵的帮助。

但是，这样一来，宇宙的加速膨胀又是由谁造成的？暗能量的本质又是什么？事实上，宇宙学常数也许并不是排斥性引力的唯一来源。根据广义相对论，对于任一种物质，只要它产生的压强足够的负，它就能造成排斥性的引力。理论家提出，暗能量的来源也许是一种物质场，它被称作“第五元素”。当然，它不需要微调。

（待续）

下面贴几张图片，以便使我们对暗能量有一点直观的认识：

1、“暗能量”，一种营养补品：

2、“暗能量”，一匹赛马：

3、“暗能量”，太阳镜品牌：

4、“暗能量”，一个猪的品种：

人择原理（一）

(博主按：一直以来打算写一点关于人择原理的东西。虽然我并不完全相信它，但我认为目前的确不能完全排除某种人择的假定。另一方面，讨论人择原理的文献已经足够深入与庞杂，因此与其自己瞎写，不如找一篇介绍性的文字与各位同学共同欣赏。以下的文章来自物理学家Stenger为The Encyclopedia of Nonbelief所撰写的词条。我的翻译遵循灵活原则，达意即可。好在这不是文学作品。原文较长，计划分三次贴出。)

 

人择原理

Victor J.Stenger

鲜于中之 译

 

1、人择条件

 

1919年，数学物理学家Hermann Weyl提出这样一个问题：为何两个电子之间的电磁力与万有引力的比值N1是一个如此巨大的数：10的39次方。使Weyl感到疑惑的是，这样大的数为何会成为事实。按照他的直觉，在描写系统的物理性质时，那些诸如圆周率之类的不带任何单位的“纯”数，应当只在1附近的小范围内出现。否则，为什么会是10的39次方，而不是57次方或者-123次方？Weyl认为，存在某种规律，是它选择了10的39次方。

接下来在1923年，天文学家Arthur Eddington也表达了类似的观点：“很难想象在一个描写事物的方案中出现一个比1差很多量级的纯数，不过我们也可以解决这个问题。途径就是：考虑这个世界中所有粒子的总数。我们可以将其他纯数与这个量联系起来。至于粒子总数本身，则可能是由某种偶然因素决定的。”他估计的这个粒子总数N的量级，大致在10的79次方，今天被称为“Eddington常数”。瞧，N差不多就是N1的平方。

到了1937年，物理学家Paul Dirac意识到，N1与另一个纯数同量级，那就是恒星的典型寿命与光穿过质子用时的比N2。他发现这两个看似无关的数的量级大体相同。如果说出现一个量级很大的纯数已经很不可思议了，那么另一个与此无关的纯数恰巧和这个纯数同在一个很大的量级，这是否更不可思议？

再后来，1961年，天体物理学家Robert Dicke指出：N2必须足够大，以使恒星的寿命足够长，这样它才能合成足够多的重元素，比如碳。更进一步，他说，对一个有重元素的宇宙而言，N1和N2必须同量级。这是人称“人择条件”的第一个例子。这个条件是说，为了生命出现在宇宙中，这些看似无关的物理量间的联系似乎是必须的。

从文献中可以找出大量运用人择条件的例子，以下几个尤其突出：

1、电磁力比万有引力强39个量级。如果不是这样大的量级，那么在生命有可能产生之前很早，恒星就塌缩掉了。

2、宇宙的能量密度要比某些理论估计小120个量级。假若宇宙的能量密度恰如某些理论所估计的那样大的话，这个宇宙早就爆碎了。

3、电子的质量一定要比中子与质子的质量差还小。这样一来，自由的中子就可以衰变成质子、电子和反中微子。否则，中子将会是稳定的，于是早期宇宙中的大部分电子和质子将会合成中子。这样几乎没有多余的质子（也就是氢元素）存留下来，作为恒星的燃料。

4、中子必须比质子重，但不能重得太多。因为，原子核之所以能把中子束缚住，就是依靠能量守恒来阻止核内的中子衰变。如果中子太重，那么它在原子核内也没法躲开衰变。没有中子，也许就无法合成重元素。然而重元素是构造一个像生命这样的复杂系统所必须的。

5、碳原子核的激发能大致在7.65百万电子伏特（MeV）左右。如果不是这样，恒星无法为生命合成足够多的碳元素。值得指出，天文学家Fred Hoyle使用这个人择条件，在碳核激发能被实验真正测到之前就预言了它。

 

2、人择原理：三个版本

 

1974年，天文学家Brandon Carter提出了 “人择原理”的概念。这个原理声称：人择条件并不只是偶然的结果，而是以某种方式植入了宇宙的结构中。他本人提出了两个版本的人择原理。其中的“弱人择原理”(WAP)为：

    我们必须接受这样的事实：我们在宇宙中的位置必须被特别地设定，以使其与我们作为观测者这个事实相容。

Carter的强人择原理（SAP）说：

    宇宙（以及依赖于它的各种参数）必须使得它自己能在某个时刻创造出观测者。

更多作者随后提出了人择原理的其他版本，在文献中可找到不下三十种。这里我只引述三个，它们是数学家John Barrow和物理学家Frank Tipler在关于此主题的大作中提出的。其中的两个是对Carter表述的改装。Barrow & Tipler 的弱人择原理说：

    物理量与宇宙量的观测结果对于各个不同的数值并不等可能。它们的取值需要被这样的条件所限制：应当存在一个区域来产生以碳元素为基础的生命（碳基生命），而且为了做到这一点，宇宙必须足够老。

注意，Barrow & Tipler要求存在“碳基生命”，而Carter只是要求存在“观测者”。这是一个更好的选择，因为很多人择调节的确与碳元素有关，不管是直接还是间接。

Barrow & Tipler的强人择原理说：

    宇宙必须有这样的性质，它们允许生命在其演化历史的某个时段出现。

注意，这三位先生都强调宇宙“必须”具有某些性质以允许生命出现，至少是允许“观测者”出现。于是，强人择原理暗示宇宙中内嵌了某种意图或目的。

Barrow & Tipler 补充了“终极人择原理”（FAP）：

    智能的信息过程一定要出现在宇宙中。而且一旦出现，就不会消失。

这里需要请读者注意，“人择原理”和“人择条件”的说法都是误称。因为，除了提出人类所属的“碳基生命”，这些条件中并没有要求出现人类，也没有要求碳基生命一定要进化出智能。

 

3、人择，意味着什么？

 

大部分物理学家和宇宙学家将弱人择原理视作同义反复。的确，各种自然常数当然要调节到适合我们这种形式的生命出现。否则我们就不会出现在这里讨论这些问题了。

然而人择条件的难题的确使人吃惊。人们想知道，对于宇宙的规律，它意味着什么。Barrow & Tipler提出了强人择原理的三种可能结果：

(A)    存在唯一的宇宙，它为产生并支持“观察者”的目的而设计。

(B)    必须有观察者出现，宇宙才能存在。

(C)    我们宇宙存在的条件是，存在大量不同宇宙构成的系综。

有宗教倾向的人将条件(A)视为上帝作为造物主存在的证据，而且这个上帝恰好就是那个为他们所崇拜的上帝。他们问道：如果不是为着一个目的、为着创造生命乃至人类的目的，宇宙如何可能获得这样一组经过精巧调节而适宜生命出现的物理参数呢？

然而这段讨论没有要求这个造物主就是某种特殊信仰中的上帝。实际上，“设计”似乎也能被解释为一个自然的过程，例如类似达尔文进化论中自然选择的过程，或者是今天的科学还无法解释的某种内建于宇宙中的结构。

结论(B)来自对量子力学带有神秘意味的误读。虽然近年来大量的通俗读物都以此为基础，但是几乎没有物理学家严肃对待它。

陈述(C)提出，存在多宇宙。我们恰好生活于其中一个适宜我们这种类型的生命生存的宇宙。我们将在稍后讨论这种可能性。

 

预告：

4、微调，旁观者的游戏？
5、真空能的难题

斯克里亚宾：走火入魔，后果自负

斯克里亚宾是音乐家中的异类。在十九世纪末到二十世纪初流派纷呈的音乐史中，我们很难分辨出他到底属于哪一派，却可以从其他领域找到与他性格相投的人物。据说他曾在自己未发表的笔记中写道“我是上帝”。仅此一句就让人不禁想起尼采。仔细考察其音乐就会发现，他与尼采的相似之处其实远不止于此。比如，至少在我看来，两人都有精神失常的倾向。当然，尼采最后真的疯了。

斯克里亚宾与拉赫玛尼诺夫自小是同学，两人同修音乐，日后皆成为一代钢琴与作曲大师。然而今天斯克里亚宾的影响似乎远不及拉赫玛尼诺夫。除了拉赫玛尼诺夫后来移居美国而赚得大名之外，一个重要的原因，我觉得是斯克里亚宾的思想过于怪异，常人无法理解。相较于拉赫玛尼诺夫深沉大气的音乐以及这种音乐背后坚强稳定的性格，斯克里亚宾显然更像是一个神经敏感而脆弱，而且有一点精神失常的幽灵。

斯克里亚宾的音乐，尤其是后期作品，充满着他自称“神秘主义”的哲学，这也许是德国人理查•施特劳斯梦寐以求但并未真正达到的境界。这叫我费解。从斯克里亚宾的奏鸣曲与交响曲中，一种不断搅动的诡异力量扑面而来，它们在试图传播作者的哲学，但却无法叫人参透。有人形容，听布鲁克纳交响曲像是经历一场重感冒：病中不知健康的感觉，痊愈后又忘了病中的感觉。我以为拿它来形容斯克里亚宾也很合适。

进入斯克里亚宾的世界，一个不错的入口是他作品第八号的十二首练习曲。这套作于1894年（作者时年22岁）的钢琴曲毫无掩饰地展示出一颗充满浪漫气息的心灵，夹带着复杂而近乎病态的情趣。强烈的自闭倾向。一种来自深宅的，书卷气极重的，然而又不够成熟稳健，像是醉酒后的情绪化表达。各种矛盾的因素在一起组合出一种古怪、神经质、充满诱惑力、具有强烈致幻作用的旋律。

与他后期那些近乎无调性的作品相比，这十二首作品调性清晰，但是伴随着无数令人吃惊和战栗的转调。往往是在这些转调的关节处，作者的病态性格暴露无遗；也是在这些转调处，一种难以名状的神秘的魅惑力弥漫开来。在第二首中的连续数次转调，对我来说像是跌入深渊时自由下坠的绝望与解脱；而第四首又像是一片重重迷障的彩色迷宫，白色的背景上面点满了鲜红以及一些不干净的浅青蓝色。

这些钢琴曲带着斯克里亚宾指纹化的个性印记：旋律破碎。一团整体模糊但细节清晰的流动。上面的列举的两首，都是左手持续的三连音、右手持续的五连音、四连音。音乐的心率消失了，破碎成精细而颤抖的流动。一切都在令人不安地漂移。好在不乏热情。

斯克里亚宾早年极其崇拜肖邦。据说睡觉时都要将肖邦的乐谱置于枕下方能睡得安稳。在这十二首练习曲中，第三首可以说纯粹是肖邦前奏曲的翻版了，但绝对是亚健康的。色调阴郁，从第一小节铺撒开来的旋律带着惊惶的疑问，汹涌奔流，直到一段令人稍感安慰的中段进入。可是这短暂的平静瞬间淹没于一串令人困惑的表达，多愁善感而令人心碎的吟唱。最终复归于混沌不安的流动。然而结尾的方式很传统。

另外值得一提的是最后三首。第十首，一段短小而放松的音乐，实属罕见。斯克里亚宾似乎在描写小精灵的集会。小提琴神童拉宾(Rabin)曾经录过这一小段。小提琴改编版使人印象深刻。

第十一首略显特殊，沉稳的进行类似拉赫玛尼诺夫。一派阴沉的俄罗斯旷野的画面。积雪与枯树。虚弱而忧郁。暗色调的结冰的湖面。凝滞在天空而面色苍白的云。

最后一首似乎是十二首中最有名的。也是霍洛维茨爱不释手的小曲。虽然也很神经质，但总算靠近传统。一如既往，不停的转调激起人急速飞入深渊的快感，妙不可言。

免责声明也许是必要的。对于这些音乐，神经过于脆弱和敏感者慎用，另外也不宜大量服用。废话我已说得够多，所以一旦走火入魔，后果请自负。

语言是苍白的。

这里是Paley演奏的Scriabin钢琴练习曲（全集）的CD下载链接，此链接有只保证短期有效，欲下从速。

柴科夫斯基的十月

自沉默中
你的一声叹息
带走了一切世俗的尘埃

铅灰色的云端
几处灵光闪动
在矮树的枝头

我是从那枝头飘落的枯叶
痛饮着寒风
飘进你的视线

仿佛飘过了千万光年
他们早已远去
只剩
你我

2009.4.24

（补充一段视频和介绍：）

Tchaikovsky的四季(Les saisons)，作品37b。作于1875-1876年，为钢琴而写的12首特性曲(Character pieces)，分别描写俄历十二个月的性格。其中六月（船歌）与十一月（三套车）是广为流传的经典。而十月（秋天之歌）则是其中我最钟爱的篇什之一。

不确定性原理的毁灭？

(按：这是我几天前的一个presentation中的部分内容，略作补充贴在此处与有兴趣的同学分享)

按照能量级的大小来探究自然的方式，可以说是现代物理学对人类知识中最重要的贡献之一。按照这种观念，任何自然现象都在一定的能量尺度下出现，在不同能量级别上，世界会呈现出极不相同的规律。高能物理用“电子伏特(eV)”这种特殊的单位标记能量的大小，1个电子伏特定义为1个电子在经过1伏特的电压加速后所获得的能量。

几个例子：日常生活中见到的水结冰、蒸发，这样的现象发生在0.01eV的量级上；化学反应，例如燃烧、电解，大多发生在1个eV的尺度。10的3次方电子伏特的能量相当于X光；而10的6次方电子伏特，则是核反应的量级。

如果继续升高能量，就进入了所谓高能物理的领土。如果我们对一些日常生活中的问题连续问几个为什么，往往就会到达这里。例如，我们可以问，酒为什么可以燃烧？答案是酒精和氧气能发生化学反应。为什么会发生化学反应？因为有电子的转移和交换。为什么电子会移动交换？因为有电磁相互作用。为什么会有电磁相互作用？……这就是高能物理的问题了。我在上一篇博文中提到，电磁相互作用来源于规范对称性。

由此可见，在更高的能量尺度上，世界将呈现出更为本质的物理规律。这也就是为什么实验物理学家不惜投入巨量的时间与金钱来建造更高能量的对撞机的原因。

以上内容可算铺垫。下面给出两个有趣的小例子，以展示在极端高能的领域中，现有的物理规律会被破坏到何种程度。所谓的极端高能，是指10的27次方电子伏特左右的量级，高能物理中称之为Planck能量。在这样的尺度下，万有引力也将表现出量子效应，这是一种任何现有理论和实验都无法呈现的效应。

第一个例子将说明，Heisenberg不确定性原理在Planck尺度下将失效。

按照不确定性原理，时空尺度的不确定度与能量级有关。为了探测到更微小的尺度，需要更高的能量。

但是，如果我们将能量提高到Planck能标，这巨大的能量将创造一个黑洞。请注意：黑洞的大小与其能量有关。设此黑洞总能量为E，则它的半径由如下公式确定：

其中G为万有引力常数，c是光速。

因此，当我们继续提高能量时，所产生的黑洞也逐渐增大。可是黑洞内的信息是无法为我们所知的，这意味着我们所能探测的区域Δx也在变大：

这和使用不确定性原理所预期的结论正好相反。

第二个例子说明，系统的熵的大小被其所占空间的表面积所控制。

简单起见，考虑空间中一个系统，它所占据的区域被限制在半径为R的球体中。现在的问题是，它的熵有多大？

自然，如果只有这些条件，我们不可能给出熵的准确值。然而我们却将看到，此系统的熵存在最大值。

事实上，如果我们向这个系统注入能量，则其熵将增加。而另一方面，我们不能注入过多的能量，因为如果此系统的总能量超过一定限制，则这些能量将产生一个半径超过R的黑洞，这与我们事先假设系统所占据的空间不超过半径R相悖。至于这个能量是多少，请将上面的方程反解出E即知。

有一个已知的结论是，黑洞的熵与其表面积成正比。由此，上面的分析也意味着，此系统的可能有的最大熵不能超过半径为R的黑洞的熵，从而这个最大熵被其表面积所控制。

请注意，这个最大熵与表面积成正比，而不是与体积成正比，这与我们对熵作为广延量的认识是不同的。

推而广之，物理系统的规律由其边界上的规律所反映，这叫全息原理。我这个表述非常粗糙，您不必较真。

最后为有兴趣的读者留一个有趣的小问题：上面的分析似乎真的与不确定性原理、以及熵作为广延量的性质相悖。你不妨做一点简单的估计，来说明这个表面上的悖论实际上是不存在的。

大学一年级的规范场论

（题图：根据现代物理学，我们四周无处不在的光，也是一种规范场。）

越是简单的系统，它所蕴含的内容也越丰富。最简单的例子是实数轴。全体实数构成一个集合，也可以叫空间。它有拓扑结构（开区间），是拓扑空间；有度量结构（绝对值），是度量空间；有线性结构，是线性空间；有范数（还是绝对值），因此是赋范空间，它是完备的，因此是Banach空间。当然，它还是良序集，是群，是域，是Abel群，是Lie群……还可以用更多的数学名词继续轰炸无辜的读者。当然，这是不人道的。

言归正传。学物理的同学大多对“规范场”有所耳闻，它是今天高能物理中研究微观粒子的基本工具。规范场论的精髓，杨振宁先生将它简练而深刻地概括为：对称性导致相互作用。在此处将细节一一道来显然不切实际。然而，正如你可能不知道什么是Lie群、却一定知道实数轴一样，如果你学过大学第一学期的普通物理，那你就一定学到了一种规范场论。

翻任何一种普物课本，大概都能找到这样的内容：

将矢量对时间求导数，其结果依赖于参考系的选择。如果两个参考系之间有相对转动，则同一个在这两个参考系中对时间求导，所得之结果并不相同，它们之间相差一个与两个参考系相对角速度有关的量。具体而言，设S系与S’系之间有相对角速度ω，则同一个矢量A在两个S和S’系中分别对时间求导，满足如下关系：

当然，这是众所周知的。然而，这个结果的确可以用规范场的理论重新表述：如果取我们的时空为“0+1”维，换言之，只有时间，没有空间；然后，将现实的三维空间视作规范对称性所在的“内部空间”，规范群取作三维空间的对称群SO(3)。在此基础上立刻可以看出，上面的公式实际上就是协变导数的定义，而ω的三个分量就是相应的规范场！

更多的细节似乎并无写在此处的必要，虽然魔鬼往往藏在细节里。

清明于静安先生碑前祭

(题图：清华园内的静安先生纪念碑，摄于2007年5月)

清华园大礼堂前的草坪四周，环绕着这所大学历史上最早的几座建筑。除了早期的国学研究院的原址“清华学堂”外，一例是红砖青瓦，简朴厚实。位于西南角的老教室楼，今天被称为“二教”。王静安先生纪念碑，就藏在二教之后的小山坡脚下。此时正是春华萌出、草木新发的日子，小山坡上的些许绿色，让这里显得不那么荒凉。与那些被络绎不绝的游客围堵得水泄不通的景点相比，这里也算是难得的清静之处了。

静安先生名国维，浙江海宁人，生于清末乱世，精通于考古、文字、器物的研究，又长于近代西方哲学与文艺理论。按照今人扣帽子称“家”的玩法，把“史学家”、“美学家”、“文学家”等等帽子悉数罗列，对先生而言，定是一个冗长乏味的列表。不过王静安之名为今人所知，更多是凭借其《人间词话》的大名。尤其是书中对学者“人生三境”的论述，更是今天无处不滥用的“经典”。

静安先生终其一生都保持着清朝遗老的作风。辛亥革命后风云嬗变的岁月对他而言显然是一种精神的折磨。1925年，静安先生受聘为清华大学国学研究院导师，校园内的安宁也许可以让他暂时忘却世事的纷乱，孰料两年之后先生就自沉于颐和园昆明湖，留给世人无尽的惋惜。先生曾留有遗言，道“五十之年，只欠一死，经此世变，义无再辱”。对此，后人的种种困惑与不解使其自沉一事变成了一个巨大的谜团。至今众说纷纭，莫衷一是。

然而无论如何，斯人已去，真相终不可知。而在我看来，也再无索隐之必要。清明是祭拜先人的时节，此刻去静安先生碑前一拜也许更合适。

先生之生平学术自是我等后学晚辈缅怀追慕的典范。然而更让我震撼的，却是静安先生纪念碑上的祭文。辞曰：

士之读书治学，盖将以脱心志于俗谛之桎梏，真理因得以发扬。思想而不自由，毋宁死耳。斯古今仁圣所同殉之精义，夫岂庸鄙之敢望。先生以一死见其独立自由之意志，非所论于一人之恩怨，一姓之兴亡。呜呼！树兹石于讲舍，系哀思而不忘。表哲人之奇节，诉真宰之茫茫。来世不可知者也，先生之著述，或有时而不章。先生之学说，或有时而可商。惟此独立之精神，自由之思想，历千万祀，与天壤而长久，共三光而永光。

反复读来，使我潸然。

这篇碑文，乃同为国学研究院导师的陈寅恪先生所作。去年有岳南先生所写《陈寅恪与傅斯年》一书问世，述写陈先生历尽艰辛的学术生涯。近几天我每晚睡前必读，现已至最末两章。每天与此书共度的半小时，已经拼缀出一段令我难忘的阅读经历。细思之，则百感交集，不知从何处道来。今且于静安先生碑前再祭，略述我之所感。

一祭先贤追求真理一往无前的精神。

“士之读书治学，盖将以脱心志于俗谛之桎梏，真理因得以发扬。”陈寅恪先生是被称为“三百年来只此一人”（傅斯年语）的史学大师。他早年留学哈佛与柏林大学历十六载，所获学问广博精深，自然非我等外行人可道，姑引季羡林先生的一段话：

陈寅恪先生20年代留学德国时写了许多学习笔记，现存六十四本之多，门类繁多，计有藏文、蒙古文、突厥回鹘文、吐火罗文、西夏文、满文、朝鲜文、梵文、巴利文、印地文、俄文等二十二类。

这里只谈到了陈先生在语言学方面的研习，与其毕生所学相比，显然是冰山一角。

可是当陈先生自德国学成归来时，却一个学位头衔都没有捞到，“完全是为求知而读书”。实际上他的学问不需要任何学位作为证明。正是如此，他才能在回国之后立即进入清华国学研究院，成为今天清华学子在为游客们介绍校园风物时所乐道的“四大导师”之一。

读着那些事先准备好的导游词，我们是否已经渐渐麻木？我们是否真的能够“完全是为了求知而读书”？我们是否有超然之精神，脱俗谛之桎梏？我们是否有足够的勇气，读书治学，发扬真理？我们是否有足够的自信，敢于声称，我们的学术不愧于承荷先贤彪炳千古的伟绩所赐予“清华”的声名？每念及此，我只有无尽的仰慕，和无限的惭愧。我只能说，身处清华校园中，若无法回答这些问号，则“清华”二字对今天的学子而言，就绝不是光荣，而是耻辱。因为，最大的耻辱莫过于盗取先贤的盛名来装点自己的门面。

二祭先贤独立之精神、自由之思想。

“独立之精神，自由之思想”，贯穿了陈寅恪先生读书治学的一生。“思想而不自由，毋宁死耳。”话虽偏激，却是学者独立精神的绝佳诠释。

清华今日有“科学技术史系列讲座”课程，在关于大学起源的论述中，主讲的蒋先生尝道：

从大学起源上看，大学实际上是教师和学生自由组织的行会，自主管理，自行设置课程，注重保护学生和教师的权利，与传统学校相比体现了一种自由开放的精神。作为学术共同体，它不依附其他权力机构，重视学术独立自主，重视学术传统的维护，这给学术长期稳定自主的发展提供了一个很好的制度保障。

我们今天的大学是否体现了上面这段文字中所描述的大学之为大学的最本原的意义？

独立精神，大而言之，乃学术的独立；小而言之，则是我辈学人把握自己的尺度与准绳。与战事不断的20世纪前半叶相比，今天的校园似乎更为清静。其实不然。武力可以摧毁建筑，可以杀戮生命，但是不至于摧毁精神。今天我们则处在一个精神纷乱的年代，一个一切都世俗得无可救药的年代。大学自然也不能幸免。当四下周遭都随风起舞、甚嚣尘上之时，我辈学人是否能保持独立之精神，自由之思想？

诚如陈寅恪先生所言，树兹石于讲舍，系哀思而不忘。表哲人之奇节，诉真宰之茫茫。我愿以此祭奠静安先生与诸位先贤，并与身边同学好友共勉。

鸿沟与折腾

(题图：计算机生成的“艺术”图案。毕达哥拉斯时代科学与艺术单纯而美好的统一，如今只能以这样的方式呈现吗？)

关于文科与理科，是一个说不完的话题。自从近代科学学院化以来，自然科学的研究逐渐形成了自己独特的风气，这种风气大概是圈外人所不好理解的。随之而来的悲剧性后果就是文理之间日益加深的鸿沟。更可悲的是，两边阵营各自一手培养起来的同学们大多只知为自己一方摇旗呐喊，不思试图理解对方、修补裂缝。结果导致这条鸿沟成了一个正反馈的系统，或者说是自放大的系统。裂缝越来越深，越来越不可修补。

由于这个原因，在文科与理科这两种完全不同的语境中自由转换，在当下已经变得极其困难。在此种境况下，我们还要从高中开始就给每个小朋友贴上文科理科的标签，就更是雪上加霜。

从高中开始我成了一个理科生，到现在已经五年有余。现在停下来看看，要想同时脚踏文理这两条反向而行的船，只感到分身乏术。高中时虽然身处理科班，但是周围同学的文科素养不次于文科同学。再加上很多学理科吃不消的同学纷纷转投文科麾下，就给我们理科生灌注了一种奇妙的自大。我们一位高中化学老师就公然宣称，理科学不好，才去学文科。

然而高中三年下来，再加上大学两年多的疯狂洗脑，我发现自己险些成了只能读懂相对论的白痴。何也？原因太多了。总之，专业化过于严重。每个人都在挖坑，越挖越深，似乎很深刻，可是结果我们都成了坑里的大青蛙（难怪清华大学又叫青蛙大学）。可以打个比方：把一个生态系统中的某个物种隔离开来，放到另一种环境中独立培养。如果经过长期进化后，再将这种物种引回原生态系统，则这种物种一般会对原生态系统造成破坏。如果人类的知识是一个大的生态系统，那么自然科学就是一种被隔离了过久的物种。也就是说，相互隔离造成相互破坏。

克莱因(Felix Klein)说过，学习过多的数学对物理思维有难以觉察的毒害。这就是专业化的结果。同样，理科思维对文科思维也有相似的作用。这种作用至少在我目前所处的能级有效，至于在更高的境界上是否能达到统一，就很难说了。对我而言，最明显的例子就是行文风格。我现在见到的物理专业文献几乎都是用费耶阿本德所嘲笑的那种文风写成的。我说的就是那种冷静、中立、充满逻辑、面无表情的陈述。但又有什么办法呢？如果没有这种风格为依托，我们又如何实现数学的严格性呢？要知道，伽利略的文章风格在今天只有民科会效仿。

这种不近人情的写作对理科专业同学的影响也许远比想象中的大。试问，怎样的人才会用这样的腔调写文章说话呢？答曰，专家。据说百度知道为专家给出的“官方解释”是“专门骗大家”。抛开这一层意思不提，单就“专”的本意想开来，就已经够恐怖了。这叫我想起那些如他们的文字一样冷静、中立、充满逻辑、面无表情的高智商头脑。他们像一台台在无比精密的筹划下运转的计算机。这正是理智的疯狂。疯狂到了极致，就会炮制出令人惊悚的结果。不信，就请想想那些为希特勒发明集中营、发明毒气池、发明大批量屠杀人群方法的智慧的技术专家。如果不是他们聪明的大脑，谁能想象出那样廉价、那样有效率的屠杀技术呢？套用一句俗话：理智导致冷血。绝对的理智导致绝对的冷血。

写到这里，风闻教育部就高中取消文理分科一事向社会征求意见。看来困惑的不止我一人，只是困惑的人们各有各的困惑。今天的学校还在多大程度上保持着阿卡的摩的传统呢？我不得而知。与柏拉图的园子相比，我们的学校更像后工业时代的大工厂，为社会输出一批批的合格零件。至于大家就文理分科一事而举棋不定，大抵是下定单的客户自己也不清楚他们需要怎样的产品罢了。这就是转型期必经的“折腾”吗？我不知道。总之，折腾是他们的，我什么也没有。

V.Arnold论数学教育

（按：这篇文章我以前贴过，这里再贴一遍，因为实在是太精彩。Arnold是俄罗斯数学家。数学系和物理系的同学对他应该是太熟悉了。数学系的同学都知道Arnold精彩的《常微分方程》，而他的《经典力学的数学方法》一书在分析力学领域则是圣经般的著作。）

地点： Palais de Découverte in Paris 时间 1997年3月7日.

数学是物理的一部分。物理学是一门实验科学，它是自然科学的一部分。而数学是物理学中只需要花费较少的代价进行实验的那一部分。例如 Jacobi 恒等式（保证三角形三条高交于一点）就是一个实验事实，正如同地球是圆的（即同胚于球体）这样的事实一样。但是发现前者却要比发现后者需要较少的代价。

在20世纪中叶，人们试图严格地区分物理与数学。其造成地后果是灾难性的。整整一代的数学家在对他们所从事的科学的另一半及其无知的情况下成长，当然，对其他的科学就更无知了。这些人又开始把他们的丑陋的学院式的伪数学教给他们的学生，接着这些丑陋的伪数学又被交给中小学校里的孩子们（他们完全忘记了 Hardy的警告：丑陋的数学在阳光下不可能总有藏身之处）。

既然那些从物理学中人为挖出来的学院式的数学既无益于教学，又对其他的科学毫无用处，结果可以想见，全世界的人都讨厌数学家（甚至包括那些被他们教出来的可怜的学校里的孩子们以及那些运用这些丑陋数学的人）。这些先天不足的数学家被他们所患的低能症候群折腾的筋疲力尽，他们无能对物理学有个起码的了解。令人们记忆犹新的由他们建造的一个丑陋建筑物就是“奇数的严格公理化理论”。

很显然，完全可能创造这样一种理论，使得幼稚的小学生们敬畏它的完美及其内部构造的和谐（例如，这种理论定义了奇数个项的和以及任意个因子的乘积）。从这种偏执狭隘的观点来看，偶数或者被认为是一类“异端”，或者随着时间流逝，被用来作为该理论中几个“理想”对象的补充（为了遵从物理与真实世界的需要）。很不幸的是，这种理论只是数学中一个丑陋而变态的构造，但却统治了我们的数学教育数十年。它首先源自于法国，这股歪风很快传播到对数学基础的教学里，先是毒害大学生，接着中小学生也难免此灾（而灾区最先是法国，接着是其他国家，包括俄罗斯）。

如果你问一个法国的小学生：“2＋3等于几？”，他（她）会这样回答：“等于3＋2，因为加法运算是可交换的”。他（她）根本不知道这个和等于几，甚至根本不能理解你在问他（她）什么！

还有的法国小学生会这样定义数学（至少我认为很有可能）：“存在一个正方形，但还没有被证明”。

据我在法国教学的经验，大学里的学生对数学的认识与这些小学生也差不多（甚至包括那些在’高等师范学校’（ENS）里学习数学的学生－－我为这些显然很聪明但却被毒害颇深的孩子们感到极度的惋惜）。

例如，这些学生从未见过一个抛物面，而且一个这样的问题：描述由方程xy=z^2所给出的曲面的形状，就能使那些在ENS中研究的数学家们发呆半天；而 如下问题：画出平面上由参数方程（例如x=t^3-3t, y=t^4-t^2）给出的曲线，对学生来说是不可能完成的（甚至对大多数法国的数学教授也一样）。从微积分的入门教科书直到Goursat写的课本，解这些问题的能力都被认为是每个数学家应具备的基本技能。

那些喜欢挑战大脑的所谓“抽象数学”的狂热者们，把所有在数学中能与物理和现实经常 发生联系的几何统统排除在教学之外。由Goursat, Hermite, Picard等人写的微积分教程被认为是有害的，最近差点被巴黎第6和第7大学的图书馆当垃圾丢掉，只是在我的干预下才得以保存。

ENS 的听完所有微分几何与代数几何课程的学生（分别被不同的数学家教的），却既不熟悉由椭圆曲线 y^2= x^3+ax+b决定的黎曼曲面，也不知道曲面的拓扑分类（更别提第一类椭圆积分和椭圆曲线的群性质了，即 Euler-Abel 加法定理）。他们仅仅学到了Hodge 构造以及 Jacobi 簇！

这样的现象竟然会在法国出现！这个国家可是为整个世界贡献 了诸如 Lagrange ，Laplace, Cauchy 以及 Poincaré, Leray 还有 Thom 这些顶级的伟大人物啊！对我而言，一个合理的解释来自 I.G. Petrovskii, 他在1966年曾教导过我:真正的数学家决不会拉帮结派，只有弱者为了生存才会加入帮派。他们可以联结很多的方面（可能会是超级的抽象，反犹太主义或者 “应用的和工业上的”问题），但其本质总是为了解决社会生存问题。 我在此向大家顺便提一下 L. Pasteur 的忠告：从来没有也决不会有任何所谓的“应用科学”，而仅仅有的是科学的应用（十分有用的东东啊！）

长久以来我一直对 Petrovskii 的话心存疑虑，但是现今我越来越肯定他说的一点没错。那些超级抽象活动的相当大的部分正在堕落到以工业化的模式无耻的掠夺那些发现者的成果，然后再加以系统地组织设计使自己成为万能的推广者。就彷佛美丽坚所在的新大陆不以哥伦布命名一样，数学结果也几乎从未以它们真正的发现者来命名。

为避免被认为我在胡说八道，我不得不在此声明我自己的一些成果由于莫名其妙的原因就被以上述方式无偿征用，其实这样的事情经常在我的老师（Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin）和学生身上发生。

M. Berry 教授曾经提出过如下两个原理：

Arnold 原理：如果某个理念中出现了某个人名，则这个人名必非发现此理念者的名字。
Berry 原理：Arnold 原理适用于自身。

不过，我们还是说回法国的数学教育上来。当我还是莫斯科大学数力系的一年级新生时，集合论的拓扑学家 L.A. Tumarkin 教我们微积分，他在课堂上很谨慎地一遍又一遍地讲述古老而经典的Goursat 版的法语微积分教程。他告诉我们有理函数沿着一条代数曲线的积分可以求出来如果该代数曲线对应的黎曼面是一个球面。而一般来说，如果该曲面的亏格更高这样的积分将不可求，不过对球面而言，只要在一个给定度数的曲线上有充分多的double points 就足够了（即要求该曲线是unicursal ：即可以将其实点在射影平面上一笔画出来）。

这些事实给我们造成多么深刻的印象啊（即使没有给出证明），它们给了我们非常优美而正确的现代数学的思想，比那些长篇累牍的Bourbaki学派的论著不知道好到哪里去了。说真的，我们在这里看到了那些表面上完全不同的事物之间存在着令人惊奇的联系：一方面，对于相应的黎曼面上的积分与拓扑存在着显式的表达式，而另一方面，在 double points 的个数与相应的黎曼面的亏格之间也有重要的联系。

这样的例子并不鲜见，作为数学中最迷人的性质之一，Jacobi曾指出：用同一个函数就既可以理解能表示为4个数平方和的整数的性质，又可以描述一个单摆的运动。这些不同种类的数学对象之间联系的发现，就好比在物理学中电与磁之间联系的发现，也类同于地质学上对美洲大陆的东海岸与非洲大陆的西海岸之间相似性的发现。

这些发现对于教学所具有的令人激动的非凡意义是无法估量的。正是它们指引着我们去研究和发现宇宙中和谐而精彩的现象。

然而，数学教育的非几何化以及与物理学的分离却割断了这种联系。例如，不仅仅学习数学的学生而且绝大部分的代数几何学家都对以下提及的Jacobi 事实一无所知：一个第一类型的椭圆积分表示了相应的哈密顿系统中沿某个椭圆相曲线的运动所走的时间。

我们知道一个 hypocycloid 就如同多项式环中的理想一样是无穷无尽的。但是如果要把理想这个概念教给一个从未见过任何 hypocycloid 的学生，就好比把分数的加法教给一个从来没有把蛋糕或苹果等分切割过（至少在脑子里切过）的学生。毫无疑问孩子们将会倾向于同时分子加分子分母加分母。

从我的法国朋友那里我听说这种超级抽象的一般化正是他们国家的传统特色。如果说这可能是一个世袭的缺陷，我倒不会不赞成，不过我还是愿意强调那个从Poincaré 那儿借来的“蛋糕与苹果”的事实。

构造数学理论的方式与其它的自然科学并没有什么不同。首先，我们要考虑一些对象并对一些特殊的事例进行观察。接着我们试图要找到一些我们所观察到的结果在应用上的限制，即寻找那些防止我们不正确地把我们所观察的结果扩展到更广泛领域的反例。作为一个结果我们尽可能地明确提出那由经验得来的发现（如费马猜想和庞加莱猜想）。这之后将是检验我们的结论到底有多可靠的困难的阶段。

就这一点来说，数学界已经发展出了一套特别的技术。这种技术，当被运用于现实世界时，有时候很有用，但有时候也会导致自欺欺人。这样的技术被称为“建模”。当构造一个模型时，要进行如下的理想化：某些只能以一定概率或一定的精确性了解的事实，往往被认为是“绝对”正确的并被当作“公理”来接受。这种“绝对性”的意义恰恰是，在把所有我们可以借助这些事实得出的结论称为定理的过程中，我们允许自己依据形式逻辑的规则来运用这些“事实”。显然在任何现实的日常生活中，我们的活动要完全依赖于这样的化减是不可能的。原因至少在于所研究的现象的参数决不可能被绝对准确的知晓，并且参数的微小变化（例如一个过程初始条件的微小改变）就会完全地改变结果。由于这个原因我们可以说任何长期的天气预报都是不可能的，无论我们把计算机造的有多高级或是记录初始条件地仪器有多灵敏，这永远也办不到。

与此完全一样的是，公理（那些我们不能完全确定的）的一个小小的改变虽是容许的，一般来说，由那些被接受的公理推出的定理却将导出完全不同的结论。推导的链（即所谓的“证明”）越长越复杂，最后得到的结论可靠性越低。复杂的模型几乎毫无用处（除了对那些无聊的专写论文的人）。

数学建模的技术对这种麻烦一无所知，并且还不断地吹嘘他们得到的模型，似乎它们真的就与现实世界吻合。事实上，从自然科学的观点看, 这种途径是显然不正确的，但却经常导致很多物理上有用的被称为“有不可思议的有效性的数学”结果（或叫做“Wigner原理”）。

我在此再提一下盖尔方德先生的一句话：还有另一类现象与以上Wigner所指的物理中的数学具有相仿的不可思议的有效性，即生物学中用到的数学也是同样令人难以置信的有效。

对一个物理学家而言，“数学教育所致的不易察觉的毒害作用”（F.Klein 原话）恰恰体现在由现实世界抽离出的被绝对化了的模型，并且它与现实已不再相符。这儿是一个简单的例子：数学知识告诉我们 Malthus 方程 $dx/dt=x$ 的解是由初始条件唯一决定的（也即相应的位于（t-x）－平面上积分曲线彼此不交）。这个数学模型的结论显得与现实世界毫不相关。而计算机模拟却显示所有这些积分曲线在t的负半轴上有公共点。事实上，具有初始条件 x(0) = 0 和 x(0) = 1的曲线在t=-100 相交，其实在t=-100 时，你压根就不可能在两条曲线之间再插入一个原子。欧式几何对这种空间在微小距离下的性质没有任何的描述。在这种情况下来应用唯一性定理显然已经超出了模型所能容许的精确程度。在对模型的实际运用中，这种情形必须要加以注意，否则可能会导致严重的麻烦。

我还想说的是，相同的唯一性定理也可解释为何在船只停泊码头前的靠岸阶段必须得依靠人工操作：否则的话，如果行进的速度是距离的光滑（线性）函数，则整个靠岸的过程将会耗费无穷长的时间。而另外可行的方法则是与码头相撞（当然船与码头之间要有非理想弹性物体以造成缓冲）。顺便说一下，我们必须非常重视这类问题，例如，登陆月球和火星以及空间站的对接－此时唯一性问题都会让我们头痛。

不幸的是，在现代数学的教科书里，即使是较好的一类课本里，对这种令人崇拜的定理所隐藏的危险的事例或探讨都只字没有。我甚至已经形成了这样的印象，那些学院派的数学家（对物理知识都一窍不通）都对公理化形式的数学与建模的主要差异习以为常，而且他们觉得在自然科学中这是很普遍的，只是需要用后期的实验来控制理论推演。

我想用不着去提什么初始公理的相对特征，人们也都不会忘记在冗长的论述里犯逻辑错误是在所难免的（彷佛宇宙射线或量子振动所引发的计算崩溃）。每一个还在工作的数学家都知道，如果不对自己有所控制（最好是用事例），那么在10页论述之后所有公式中的记号有半数都会出问题。与这样的谬误相抗的技术也同样存在于任何实验科学里，而且应该教给每一个大学低年级的学生。

试图创造所谓的纯粹推导式的公理化数学的做法，使得我们不再运用物理学中的研究方法（观察-建模－模型的研究－得出结论－用更多的观察检验模型）取而代之的是这样的方法：定义－定理－证明。人们根本不可能理解一个毫无动机的定义，但我们却无法阻止这些有罪的 “代数－公理学家”。例如，他们总是想用长乘规则的手段来定义自然数的乘积。但用这种方法乘法的交换性却难以证明，不过从一堆的公理中仍有可能推导出这样的定理。而且完全可能逼着那些可怜的学生们来学习这个定理以及它的证明（其目的不外乎是提升这门学科以及教授它的人的社会地位）。显然，这种定义和这样的证明对教学和实际工作有百害而无一益。

理解乘法交换性的唯一可能的方式，打个比方就是分别按行序和列序来数一个方阵里士兵的人数，或者说用两种方式来计算长方形的面积。任何试图只做不与物理和现实世界打交道的数学都属于宗派主义和孤立主义，这必将损毁在所有敏感的人们眼中把数学创造视为一项有用的人类活动的美好印象。

我将再揭示几个这样的秘密（可怜的学生们对此很有兴趣）。

一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对应矩阵的列。如果学生们得知了这个秘密（在纯粹的代数式的教育中，这个秘密被仔细地隐藏了起来），那么行列式的整个理论都将成为多线性形式理论的一部分。如果用别的方式来定义行列式，则任何敏感的人都将会永远恨死了诸如行列式， Jacobi式，以及隐函数定理这些鬼东西。

一个群又是什么东东呢？代数学家们会这样来教学：这是一个假设的集合，具有两种运算，它们满足一组容易让人忘记的公理。这个定义很容易激起一个自然的抗议：任何一个敏感的人为何会需要这一对运算？“哦，这种数学去死吧”－－这就是学生的反应（他很可能将来就成为了科学强人）。

如果我们的出发点不是群而是变换的概念（一个集合到自身的1－1映射），则我们绝对将得到不同的局面，这也才更像历史的发展。所有变换的集合被称为一个群，其中任何两个变换的复合仍在此集合内并且每个变换的逆变换也如此。

这就是定义的关键所在。那所谓的“公理”事实上不过是变换群所具有的显然的性质。公理化的倡导者所称的“抽象群”不过是在允许相差同构（保持运算的 1－ 1映射）意义下的不同集合的变换群。正如 Cayley证明的，在这个世界上根本就没有“更抽象的”群。那么为什么那些代数学家仍要用抽象的定义来折磨这些饱受痛苦的学生们呢？

顺便提一句，在上世纪60年代我曾给莫斯科的中小学生们讲授群论。我回避了任何的公理，尽可能的让内容贴近物理，在半年内我就教给了他们关于一般的五次 方程不可解性的Abel 定理（以同样的方式，我还教给了小学生们复数，黎曼曲面，基本群以及代数函数的monodromy 群）。这门课程的内容后来由我的一个听众 V. Alekseev 组织出版了，名为The Abel theorem in problems.一个光滑流形又是什么东东呢？最近我从一本美国人的书中得知庞加莱对此概念并不精通（尽管是由他引入的），而所谓“现代的”定义直到上世纪20年代才由Veblen给出：一个流形是一个拓扑空间满足一长串的公理。

学生们到底犯了什么罪过必须经受这些扭曲和变形的公理的折磨来理解这个概念？事实上，在庞加莱的原著《位置分析》（Analysis Situs）中，有一个光滑流形的绝对清晰的定义，它要比这种抽象的玩意儿有用的多。

一个欧式空间R^N中的k-维光滑子流形是一个这样的子集，其每一点的一个邻域是一个从R^k到R^(N-k)的光滑映射的图象（其中R^k和R^(N-k)是坐标子空间 ）。这样的定义是对平面上大多数通常的光滑曲线（如 圆环 x^2 + y^2 = 1）或三维空间中曲线和曲面的直接的推广。

光滑流形之间的光滑映射则是自然定义的。所谓微分同胚则是光滑的映射且其逆也光滑。

而所谓“抽象的”光滑流形就是欧式空间的允许相差一个微分同胚意义下的光滑子流形。世界上根本不存在所谓“更抽象的”有限维的光滑流形（Whitney 定理）。为什么我们总是要用抽象的定义来折磨学生们呢？把闭二维流形（曲面）的分类定理证给学生们看不是更好吗？恰恰是这样的精彩定理（即任何紧的连通的可定向的曲面都是一个球面外加若干个环柄似的把手）使我们对现代数学是什么有了一个正确的印象，相反的是，那些对欧式空间的简单的子流形所做的超级抽象的推广，事实上压根没有给出任何新的东东，不过是用来展示一下那些公理化学者们成就的蹩脚货。

对曲面的分类定理是顶级的数学成就， 堪与美洲大陆或X射线的发现媲美。这是数学科学里一个真正的发现，我们甚至难以说清到底所发现的这个事实本身对物理学和数学哪一个的贡献更大。它对应用以及对发展正确的世界观的非凡意义目前已超越了数学中的其他的“成就”，诸如对费马大定理的证明，以及对任何充分大的整数都能表示成三个素数和这类事实的证明。为了出风头，当代的数学家有时候总要展示一些“运动会式的”成就，并声称那就是他们的学科里最后的难题。可想而知，这样的做法不仅无助于社会对数学的欣赏，而且恰恰相反，会使人们产生怀疑：对于这样的毫无用处的跳脱衣舞般的问题，有必要耗费能量来做这些（彷佛攀岩似的）练习吗？曲面的分类定理应该被包含在高中数学的课程里（可以不用证明），但不知为什么就连大学数学的课程里也找不到（顺便一下，在法国近几十年来说有的几何课程都被禁止）。

在各个层次上，数学教育由学院的特征转回到表述自然科学的重要性的特征，对法国而言是一个及其热点的问题。使我感到很震惊的是那些最好的也是最重要的条理清晰的数学书，在这儿几乎都不为学生们所知（而依我看它们还没有被译成法语）。这些书中有Rademacher 和 T?写的 《Numbers and figures》；Hilbert 和 Cohn-Vossen写的《plitz, Geometry and the imagination》；Courant 和Robbins 写的《What is mathematics?》；Polya 写的《How to solve it》 和 《Mathematics and plausible reasoning 》； F. Klein 写的《Development of mathematics in the 19th century》。

我清晰地记得在学校 时，Hermite 写的微积分教程（有俄语译本）给我留下了多么强烈的印象。我记得在其最开始的一篇讲义中就出现了黎曼曲面（当然所有分析的内容都是针对复变量的，也本该如此）。而积分渐进的内容是通过黎曼曲面上道路形变的方法来研究（如今，我们称此方法为Picard-Lefschetz 理论;顺便提一下，Picard是Hermite的女婿－－数学能力往往是由女婿来传承：Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U. Frisch 这个王朝就是巴黎科学院中另一个这样的范例）。

由Hermite 一百多年前所写的所谓的“过时的”教程（也许早就被法国大学的学生图书馆当垃圾扔掉了）实际上要比那些如今折磨学生们的最令人厌烦的微积分课本现代化的多。

如果数学家们再不睡醒，那么那些对现代的（最正面意义上的）数学理论仍有需要，同时又对那些毫无用处的公理化特征具有免疫力（这是任何敏锐的人所具有的特征）的消费者们会毫不犹豫的将这些学校里的受教育不足的学究们扫地出门。

一个数学教师，如果至今还没有掌握至少几卷Landau 和 Lifshitz 著的物理学教程，他（她）必将成为一个数学界的希罕的残存者，就好似如今一个仍不知道开集与闭集差别的人。