【讨论班】第五次活动预告

本周日（5月2日）下午18:00我们的讨论班将举行第五次活动。届时将由黄飚同学为我们介绍圈量子引力。以下是黄飚同学给出的outline：

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……重点会是一些概念性的介绍，目的在于把圈量子引力的动机、框架、应用和优缺点介绍清楚，不会太深入技术细节。

A tentative plan for topics
I'm going to cover is：

Loop Quantum Gravity (LQG) and Its
Applications

0，Hamiltonian formalism of general relativity:
Brief review
1，Construction of the kinematic Hilbert space:
    
1.1 Holonomies and cylindrical functions
     1.2 SU(2) gauge
invariance: Spin networks
     1.3 Diffeomorphism invariance: Knots
2，Operators
in the kinematic space: Area, volume, and their discrete spectrums
3，Dynamics
of LQG: the Hamiltonian Constraint and the Spinfoam Models

4，Application: Loop Quantum Cosmology
5，Application: Black Hole
Thermodynamics
6，Discussions: Achievements and open problems

Major
references for the content except for 4 are:
1) The book 《Quantum
Gravity》 by Carlo Rovelli (attached is a preview version of Carlo's
book), Part 2
2) The article "Background Independent Quantum
Gravity: A Status Report " by Abhay Ashtekar (gr-qc/0404018)

The
research on Loop Quantum Cosmology was initiated around 2000s in the
PhD thesis of Martin Bojowald and is rapidly developing throughout
these years. Thus, topics in this field are not well covered by the
above references. Currently, I find the most accessible review would be
the PPT by Bojowald himself as attached. This was the PPT for lectures
in the Loops 09 conference in BNU last summer.

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【附】本学期的讨论班已经开展了四次讨论。分别是：

1) Renormalization group approach to
interaction fermions by 张龙

2) Chiral Anomalies: Nonperturbative methods and
applications in effective theory of strong interaction by 鲜于中之

3) Introduction to K-T
transition by 张龙

4) Introduction to cyclic expansion in dynamical system by 谢剑波

宇宙是一个黑洞吗？

前不久（4月11日），物理学家Frampton在ArXiv上贴出一篇短文[1]，声称自己的新观点可以解决困扰物理学家很久的暗能量问题。他说，如果可观测的宇宙本身就是一个黑洞的内部，那么我们根本不需要假设暗能量的存在。按照目前的理解，暗能量占宇宙总能量的百分之七十左右——这是实验（WMAP）给出的结果。然而对于它的起因我们几乎一无所知。

这里暂且不谈暗能量，且看Frampton的核心假设：将宇宙看作一个黑洞。这究竟是指什么呢？

为了搞清楚这个问题，我们先得知道，什么是黑洞。

相对于现代物理学的其它概念，黑洞就显得很古老了。很多人都知道，数学家Laplace在1796年曾经设想出了这样一种天体。事实上，在更早一些的1783年，地质学家John Michell在给Cavendish的信中就已写下这样一段话：
“如果一个与太阳密度相同的球的半径比太阳小500倍以上，那么从无穷远处落向此球的物体，在落到该球表面时的速度将超过光速。从而，如果我们设想光和其它物体一样，也被正比于其惯性的力所吸引，那么从该球面发出的光将会由于自身的引力而折回。”[2]

这个直观的图像在广义相对论中得到了精确的数学表达。根据相对论，黑洞可以产生于一颗烧尽的恒星。

运气好的话，我们在夜晚可以看见许多恒星。它们不过是自身的万有引力与核燃烧产生的向外的压力相互平衡的结果。当一颗恒星的核燃料用完后，没有足够的力气来支撑巨大的引力，它就将向自己的中心坍缩。坍缩的结果有可能是白矮星或者中子星。这两种天体分别依靠电子与中子的排斥力与引力相抗衡。

然而，如果此时这颗天体的质量仍然很大，比如，大于太阳质量的5倍，则中子间的排斥力也无法抵抗巨大的万有引力。其结果就是，这巨大的引力将使这团物质继续坍缩，直到形成一个黑洞。

不难看出，这是一串将物质不断压缩的过程。当一团物质被压缩到足够小、足够密集时，它就将变成黑洞。足够小是多小？相对论给出的结果是Schwarzschild半径：R=2GM。其中，M是这团物质的质量，而G是万有引力常数。我们的判据是，如果一团物质分布的范围小于它的Schwarzschild半径R，它就是一个黑洞。

如果这还不够直观，我们不妨来做一点简单的估算。对于太阳来说，它的质量M是2乘十的三十次方千克，代入R=2GM，我们得到它的Schwarzschild半径是3km。这就是说，如果把太阳压缩到半径只有3千米，它就将成为一个黑洞。作为对比，太阳目前的半径是70万公里。

这个结果给我们的深刻印象是，黑洞是如此致密。

但这并非全部！关键在于，黑洞的Schwarzschild半径（而不是体积）正比于质量。通过简单的乘除法就可发现，黑洞的密度（M/R^3）其实反比于其半径的平方！

也就是说，黑洞越重，它将变得越稀疏。

所以，尽管整个可观测的宇宙本身很稀疏，但它是否可以是一个黑洞呢？

根据Frampton的估算，可观测宇宙的总质量是10^23倍的太阳质量（换言之，可观测宇宙中有大约1摩尔量级的太阳。），所以它的Schwarzschild半径是300亿光年；而可观测宇宙的半径是480亿光年，与其Schwarzschild半径同量级。因此，我们的宇宙差不多就是一个黑洞。

其实，将宇宙看作黑洞的内部，已经不很新鲜了。早在1939年，Oppenheimer（人称原子弹之父）就已经使用Friedman度规做黑洞的计算[3]，这其实就暗示了将宇宙看作黑洞内部的可能性。而在1972年，Pathria（就是写了著名的统计力学教材的那位）在Nature上的一篇文章[4]更是仔细计算了将宇宙视为黑洞的种种后果。此后也有不少文章继续讨论这个问题。

Frampton的文章唯一的新颖之处在于，他声称通过将宇宙等同于一个黑洞，就可以计算黑洞辐射的温度。再使用温度和加速度的关系（Unruh效应），就得到了宇宙的加速膨胀。于是，我们不再需要为了解释实验上看到的加速膨胀去人为假设一种神秘的暗能量。

但是这种类比仍然是很可疑的。这是因为，我们通常对黑洞的认识，都是在离它很远处的渐进平坦的空间中得到的。比如远离黑洞的观察者可以看到Hawking辐射，但是在自由降落系中就看不到任何辐射。可是，当我们研究宇宙的时候，通常只能采用自由降落系（通常叫做共动参考系）。因为，我们没有办法跳到宇宙之外的远处去观察它。此时，Hawking辐射从何而来？黑洞的温度又从何而来？这都是不清楚的。

另外，注意到，宇宙的加速膨胀是尺度因子的膨胀，而非某观测者的加速运动。显然，使用Unruh效应（相对于惯性系的加速观测者将看到热的真空）的类比也需要进一步解释。

Frampton作此断言的主要原因在于，他用这种方法所得结果的量级与观测粗略吻合。比如，他算出宇宙的Schwarzschild半径与其真实半径几乎相同（相差1.6倍）。

可是我们不要忘记，宇宙的密度随着它的膨胀而下降。在最近一百亿年的物质主导时期，宇宙的密度反比于其尺度因子的三次方。这意味着，当我们向着宇宙早期追溯时，它将变得越来越密，以至于它的半径将显著小于Schwarzschild半径。这该作何解释？

如果Frampton的文章是正确的话，那么他所使用的各种类比之间就必然存在有尚未被解释清楚的物理联系。我相信，如果我们找不到这些更深层的东西，则他的计算只能是某种巧合罢了。

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猜猜看：这些照片中的同学您认识几位？（答案在最后）

参考文献：

[1] P. H. Frampton, arXiv:1004.1285v2
[2] Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole
[3] J. R. Oppenheimer and H. Snyder, Phys. Rev. 56, 455 (1939)
[4] R. K. Pathria, Nature 240, 5379 (1972)

相关人物：

1、Frampton：宇宙是一个黑洞！

2、原子弹之父Oppenheimer

3、大名鼎鼎的《统计力学》作者Pathria

4、Unruh大叔：加速系中的真空是热的！

5、大家对Hawking的典型形象太熟悉了，这里用一张1946年的旧照吧。

开博一周年

（一）

去年2月4日，我在这里贴出一篇搬家告示，开始了“弦乐四重奏”在blogbus的旅程。
如果除去此前在72松若干不值一提的口水之外，到目前已是400多天，也就是说，一年多过去了。
码点汉字，略表纪念。
回过头看一眼自己在这一年时间内写下的东西，无非是一些不痛不痒的文字。
这其中，大部分是物理。原因很简单：我是物理专业的学生，物理是我生活的一个重要部分。在过去十年左右的时间里，我的生命有物理的陪伴。
我视此为一种无比的幸运。
我现在已经二十二岁。二十二岁意味着什么？
Wilczek二十二岁时已经完成了他拿到Nobel奖的工作；
而Galois在二十二岁时早已留下了他永载史册的工作而离开这个世界。
作为我的“同行”，他们对我来说自然是一种刺激。
但这并不意味着更多。
我相信游泳爱好者绝不会因为游不过菲尔普斯而感到懊恼。
因为游泳的乐趣绝不可用其结果来衡量。
况且，更重要的是，（至少在我看来）物理绝不是竞技。

（二）

物理是什么。对此我的答案一直处于变动中。
它曾经是世界的真理，曾经是上帝的诗，曾经是一种信仰，一种奇迹。
然而，这种科学主义的宣传只对行外人奏效。
当我渐渐入行之后，方才明白，这些只是美丽的谎言。
所幸的是，当我一次次揭下谎言的面纱后，
藏在其后的面目总是更令人沉醉。
对此，你除了莞尔一笑，还能作何表情？
今天，物理于我而言，更像是一种规则绝妙的游戏，以至于你可以用一生的时间拿它来消遣。
在某些方面，它更像数学，像一种纯粹的智力活动；
在更多的时候，你还得倾听自然，看看这种纯粹智力的产出是否能得到来自大自然的回应。
在这种理性与自然的交流中，你会感到一种巨大的张力。
那是一种令我敬畏的神秘力量，是造物主跳动的脉搏。
也许，今后我还会得到不同的答案，此时自然无法预测。
但是，无论物理的意义如何改变，有一点自始至终未曾变化，那就是，
它如此性感。

（三）

写日志对我自己来说，是一种检验。
检验我是否有能力真正把握自己要写的东西。
实践证明，从谙熟于心到言之成理是一个非平凡的过程。
我告诫自己：一篇难读的文章一定是作者的过错而不是读者的过错。
写日志的另一个重要动机是“分享”。
“独乐乐，不如与人乐乐”似乎是人的本能。
理论物理这种学问，离现实很遥远。
当周围无数的人们在关注房价的时候，
我们只想关注遥远的星空。
关注一百四十亿年前发生的事情，那时盘古还未苏醒。
这意味着，我们的工作不会对世界造成直接的影响。
不过这并不会使我感到遗憾。
真正使我感到不安的是，
如果物理纯粹是一种自娱自乐，那么除了写一点只有圈内的小众可读的文章外，我还能期望自己通过它对世界贡献一点什么？
我觉得，写博是一种出路。

（四）

放眼今天的大学校园，意气风发、大发宏愿的青年才俊已是凤毛麟角。
偶尔有一点直抒胸臆的文字还会招来众人的讪笑。
大家都被现实的压力钳制得平庸而卑微。
如果我们所做的一切只不过是为眼前的利益而筹划，那么生活的乐趣又何在？
王羲之曾说，人的一生，无非是“因寄所托，放浪形骸之外”，或者“取诸怀抱，悟言一室之内”。
这两种境界，前者的“指点江山，激扬文字”自然令我钦佩，
但我坦白，我无法做到。我缺乏这种激情和勇气。
所以就有了我的博客的副标题：“悟言一室之内”。
所求者，无非欣于所遇，暂得于己而快然自足。
幸运的是，通过这个博客，我的确认识了更多同样痴迷于物理与数学的同学。
他们中有的在自己的领域里做出了漂亮的工作，
有的正在为自己的梦想苦苦打拼。
但是他们对理想的执着则是一致的。
从他们那里我学到了很多。这是我写博客的最大收获。

（五）

最后，我希望作一澄清。
我写日志的目的不是传教，不代表真理。
我所写下的文字仅仅反映我的个人见解，仅此而已。

 

下面是我写过的所有有关物理的日志的分类。分类的标准是专业程度。随着五角星的数目的增长，内容更为专业；而五角星个数少的则意味着适合非专业的读者。

 

大学一年级的规范场论：★★★☆☆

不确定性原理的毁灭：★★☆☆☆

人择原理（译）：★☆☆☆☆
第一部分  第二部分  第三部分

弦论：做游戏时请别当真：★☆☆☆☆

没有基本粒子：★★☆☆☆

人择原理，开普勒和宇宙：★☆☆☆☆

对称性的量子破缺：★★★★☆
第一部分  第二部分

切除时间（译）：★☆☆☆☆

为什么看不见高自旋粒子：★★★★★

各种无穷大：★★☆☆☆

肮脏的物理：★☆☆☆☆

全息引力：★★★☆☆

从全息原理到牛顿定律：★★★★☆

高能物理的没落：☆☆☆☆☆

简单和优美的包袱：☆☆☆☆☆

后现代化的理论物理学：★☆☆☆☆

杂博一篇

（题图：克里姆特与蒙德里安）

(1)

近一个月来购得不少好书，每晚睡前不免大快朵颐一番。只是每回翻开饮水词，扑面而来就是一句“柳烟丝一把”。这也许的确不是偶然，窗外的确是柳烟弥漫的季节了。

这季节变换如此之快，与我迟滞的神经极不相称。我大概是典型的粘液质，粘得化不开。不久前还在追悔去年连翘花开时没有拍几张照片，今年的连翘却早已开花；昨日忽而想起去年冬天时一只麻雀在阳台的积雪上留下的脚印，而待我反应过来时，一群麻雀早已躲进树丛中，留下我一人站在阳台上发呆。

发呆自然是一种享受，这大概如同饮酒。只是我自知时间有限，故而只能小酌，不可酩酊。也罢，休近小阑干，夕阳无限山。信然。

(2)

诗集中常有后人注释，这总令我生疑。难道诗是可以被注解的吗？当然，这样讲过于广泛，因为很多完全不同的东西，都恰好被人们称作“诗”。比如，王维的诗与艾略特的诗，在我看来除了都被人们称作“诗”以外，几乎再无相似之处了。艾略特的学院派风格的确需要注释，需要长篇累牍的注释，这我完全同意。但若对王摩诘也如此大肆注释索隐一番，只会叫人兴味索然。在王摩诘的辋川之下，理性和逻辑是不受欢迎的怪物。在自然的神性面前我们最好保持谦卑。

其实，不同艺术门类之间的相似性经常超出我们直觉地预料。比如川端康成与武满彻，比如勋伯格与康定斯基，比如德彪西与马拉美。

(3)

说到音乐，最近花了两周时间将马勒复习了一遍。说是复习，也无非走马观花而已。将他的交响曲从一到九听下来，对耳朵是一种考验，对神经更是。幸亏布列兹的冷静，否则听完之后神经崩溃也未可知。

在马勒交响曲的无数版本中，我目前仍然最欣赏布列兹。在他的指挥棒下，马勒完全是一番现代派的模样，甚至让人想起蒙德里安的线条和方块，而不是克里姆特般情欲与梦魇的交织。

当然，除布列兹之外，好录音还有很多，只是各有侧重。总体而言，美国乐团常常一丝不苟，书卷气十足，谨慎有余但不够洒脱。相比之下德奥乐团就要好很多。柏林爱乐与维也纳爱乐的声音，其精妙之处的确无法形容。当然，指挥才是决定性的因素。指挥大师们自有其看门绝技，让人叹为观止。阿巴多的细节，拉特的线条，格吉耶夫的结构，各尽其妙。

(4)

最后推荐一段音乐。苏联作曲家格里埃尔的《花腔女高音协奏曲》【点此下载】。作曲家的苏联背景总让我想起普罗科菲耶夫或者肖斯塔科维奇一般的冷隽。但是这部作品却是十足的十九世纪风味：首乐章无法不让人想起拉赫玛尼诺夫的练声曲，而末乐章则完全是西欧浪漫派的情趣。更令人激赏的是首乐章的气氛，与我此时的心境如此相合。正是，谁道闲情抛弃久，每到春来，惆怅还依旧。看来，“四月是最残忍的一个月”，这绝非戏言。

(5)

注：为了响应各种部各种委各种总局的号召，本文避免使用任何外文称呼。如有造成不便还请谅解。

【CERN公报】LHC研究计划启动

【博主按：附上了大致的翻译，以方便不喜读英文的同学。习惯读原文的同学请直接无视。】

30.03.2010
LHC research programme gets underway
LHC研究计划启动

Geneva, 30 March 2010. Beams collided at 7 TeV in the LHC at 13:06 CEST, marking the start of the LHC research programme. Particle physicists around the world are looking forward to a potentially rich harvest of new physics as the LHC begins its first long run at an energy three and a half times higher than previously achieved at a particle accelerator.
日内瓦，2010年3月30日，中欧夏季时间13:06。束流在7TeV上的对撞标志着LHC研究计划的启动。随着LHC由此开始的第一次长期运行，并将能量提升至现有记录的3.5倍，全世界的粒子物理学家都在展望一个潜在而丰富的新物理的到来。

“It’s a great day to be a particle physicist,” said CERN1 Director General Rolf Heuer. “A lot of people have waited a long time for this moment, but their patience and dedication is starting to pay dividends.”
“对粒子物理学家来说，这是伟大的一天，”欧洲核子中心主任Rolf Heuer说，“很多人已为此等待了很久，不过他们的耐心和贡献从今天起将开始得到回报。”

“With these record-shattering collision energies, the LHC experiments are propelled into a vast region to explore, and the hunt begins for dark matter, new forces, new dimensions and the Higgs boson,” said ATLAS collaboration spokesperson, Fabiola Gianotti. “The fact that the experiments have published papers already on the basis of last year’s data bodes very well for this first physics run.”
“利用这破纪录的对撞能量，我们已将LHC实验推进到一个巨大的探索领域，我们已经开始了对暗物质、新相互作用力、新空间维度和Higgs波色子的寻找，”ATLAS合作发言人Fabiola Gianotti说，“事实上，实验家基于去年的数据所发表的文章极佳地预示着目前的首次运行。”

“We’ve all been impressed with the way the LHC has performed so far,” said Guido Tonelli, spokesperson of the CMS experiment, “and it’s particularly gratifying to see how well our particle detectors are working while our physics teams worldwide are already analysing data. We’ll address soon some of the major puzzles of modern physics like the origin of mass, the grand unification of forces and the presence of abundant dark matter in the universe. I expect very exciting times in front of us.”
“我们对LHC一路走来的历程印象深刻，”CMS实验发言人Guido Tonelli说，“当全世界的物理团队在分析数据的时候，我们将能看到我们的粒子探测器运转的情况如何，这是十分令人满足的事。我们将很快展现现代物理学中的几大难题，诸如质量的起源、相互作用力的大统一，以及宇宙中大量的暗物质的存在。我所期待的令人激动地时刻就在我们眼前。”

"This is the moment we have been waiting and preparing for", said ALICE spokesperson Jürgen Schukraft. "We're very much looking forward to the results from proton collisions, and later this year from lead-ion collisions, to give us new insights into the nature of the strong interaction and the evolution of matter in the early Universe."
“这是一个我们已等待并为之准备了许久的时刻，”ALICE发言人Jürgen Schukraft说，“我们十分期待质子对撞、以及今年晚些时候的铅-离子对撞，它们将为我们带来关于强相互作用以及宇宙早期物质演化的新发现。”

“LHCb is ready for physics,” said the experiment’s spokesperson Andrei Golutvin, “we have a great research programme ahead of us exploring the nature of matter-antimatter asymmetry more profoundly than has ever been done before.”
“LHCb已为物理学做好准备，”实验发言人Andrei Golutvin说，“我们的面前是一个巨大的研究计划，它将比已有工作更为深入地探寻物质与反物质的非对称性。”

CERN will run the LHC for 18-24 months with the objective of delivering enough data to the experiments to make significant advances across a wide range of physics channels. As soon as they have "re-discovered" the known Standard Model particles, a necessary precursor to looking for new physics, the LHC experiments will start the systematic search for the Higgs boson. With the amount of data expected, called one inverse femtobarn by physicists, the combined analysis of ATLAS and CMS will be able to explore a wide mass range, and there’s even a chance of discovery if the Higgs has a mass near 160 GeV. If it’s much lighter or very heavy, it will be harder to find in this first LHC run.
CERN将会使LHC持续运行18至24个月，以保证获取足够的数据。这些数据将显著提升大量物理通道的实验结果。作为寻找新物理的前导，LHC将“重新发现”标准模型的粒子。一旦这一工作完成，LHC实验将开始系统地寻找Higgs波色子。利用物理学家叫做“一个逆飞靶”的理想数据量，ATLAS和CMS的联合分析可以探寻足够宽的质量范围。如果Higgs的质量在160GeV附近的话，我们甚至有机会发现它。而假如它过轻或过重，则在LHC的第一次运行中就更难被发现。

For supersymmetry, ATLAS and CMS will each have enough data to double today’s sensitivity to certain new discoveries. Experiments today are sensitive to some supersymmetric particles with masses up to 400 GeV. An inverse femtobarn at the LHC pushes the discovery range up to 800 GeV.
对于超对称，ATLAS和CMS将积累足够的数据，并将现有的灵敏度翻倍，以保证新发现的产生。目前的实验对某些质量不超过400GeV的超对称粒子是敏感的。而LHC的1个逆飞靶会将探寻范围推高至800GeV。

“The LHC has a real chance over the next two years of discovering supersymmetric particles,” explained Heuer, “and possibly giving insights into the composition of about a quarter of the Universe.”
“LHC在今后两年内有很现实的机会去发现超对称粒子”，Heuer解释道，“而且有可能为宇宙中将近四分之一的成分提供新的洞察。”

Even at the more exotic end of the LHC’s potential discovery spectrum, this LHC run will extend the current reach by a factor of two. LHC experiments will be sensitive to new massive particles indicating the presence of extra dimensions up to masses of 2 TeV, where today’s reach is around 1 TeV.
即使对LHC探索范围内那些更为异想天开的一端，LHC的这次运行也将会以加倍的方式扩展现有研究。对于预言额外维空间的新的重粒子，LHC实验的灵敏度是2TeV，而现有研究的灵敏度在1TeV左右。

“Over 2000 graduate students are eagerly awaiting data from the LHC experiments,” said Heuer. “They’re a privileged bunch, set to produce the first theses at the new high-energy frontier.”
“2000多名研究生正在热切地等待LHC实验的数据，”Heuer说，“他们有特权在新的高能前沿产出第一批文章。”

Following this run, the LHC will shutdown for routine maintenance, and to complete the repairs and consolidation work needed to reach the LHC’s design energy of 14 TeV following the incident of 19 September 2008. Traditionally, CERN has operated its accelerators on an annual cycle, running for seven to eight months with a four to five month shutdown each year. Being a cryogenic machine operating at very low temperature, the LHC takes about a month to bring up to room temperature and another month to cool down. A four-month shutdown as part of an annual cycle no longer makes sense for such a machine, so CERN has decided to move to a longer cycle with longer periods of operation accompanied by longer shutdown periods when needed.
在此次运行之后，LHC将关机进行例行维护，有鉴于2008年9月19日的事故，LHC还需完成为了达到设计能量14TeV所需要的维修和加固。依照惯例，CERN以年为周期运行加速器，每年开动7到8个月，并关闭4到5个月。由于LHC需在极低温下运行，LHC需要一个月的时间回到室温，还需要另一个月的时间用以冷却。作为年度运行的一部分，4个月的关机时间对这台机器显然没有意义。因此CERN已经决定，在必要的时会调整到一个更长的周期，包括更长的运行时间和更长的关机时间。

“Two years of continuous running is a tall order both for the LHC operators and the experiments, but it will be well worth the effort,” said Heuer. “By starting with a long run and concentrating preparations for 14 TeV collisions into a single shutdown, we’re increasing the overall running time over the next three years, making up for lost time and giving the experiments the chance to make their mark.”
“两年的持续运行对LHC的操作者和实验本身而言都是很高的量级，但它很值得我们作此努力，”Heuer说，“随着此次长期运行，同时为了在单独一次的关机期间为14TeV的对撞做足准备，我们正在增加今后三年的整体运行时间，以补偿已经丢失的时间，并为这些实验提供留下它们足迹的机会。”

讨论班第二次活动预告

本学期的“现代量子场论”讨论班已于本周五*进行了第一次讨论。在张龙大老虎的带领下，我们初步学习了Shankar关于重整化群的文章。

结合大家的时间表，我们同意将今后的讨论安排在每周周日晚上18：00~21：00左右。地点仍然是理科楼1221报告厅（在数学系那边）。

于是，下次讨论的时间就是4月4日晚。届时我们将讨论量子反常（Anomalies）的有关问题。

我个人觉得反常是量子场论中最有趣的现象之一。原因有三。其一，在现代物理中，对称性和量子化是两个极为重要的基本概念。而反常恰恰将此两者联系起来。它告诉我们，经典系统的对称性禁不起量子化的折腾。其二，反常的根源在于非平凡的拓扑。我们最常见的手征反常在数学上表现为Atiyah–Singer指标定理。对此学习有助于我们更好的理解场论的数学结构。其三，反常有实验为证。事实上，这种现象最初就是在实验中被发现的。可见，反常上通数学，下达现象学。内容如此丰富的问题在场论中实属凤毛麟角。

但这并不意味着反常是难于下手的东西。我们下次的讨论将从最基本的对称性原理开始。内容涉及推导手征反常的路径积分方法，以及一点现象学。我希望每一步的讨论尽量做到简单明晰。

根据张龙大老虎的要求，在正式讨论之前，有必要将所用的参考文献列举出来。

首先是经典的文章：

Fujikawa: Phys. Rev. Lett. 42, 1195;
Fujikawa: Phys. Rev. D 21, 2848;

同时也许会参考下面几本书的相关章节：

Peskin & Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory;
Weinberg: Quantum Theory of Fields, Vol.2;
Bertlmann: Anomalies in Quantum Field Theory.

当然，我们届时的讨论将假设参加者完全没有读过这些文章。

如果一切顺利，讨论完毕后，我会在此贴出一个讲稿。

 

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*此处将周日视为一周的最后一天。

浣溪沙三首

浣溪沙
偶得于物理之中

近來忙於計算，冗長之至，數日未得結果，不得已休筆一日。偶發逸興，填成三首，疏於平仄，不論陰陽。唯求自娛，或可貽笑方家。

積雪難融近春分
算稿未定懶出門
端茶小憩意紛紛

數盡玄機難自現
物含妙理可堪尋
人間唯此最銷魂

又

辛苦經年覓法身
致知格物亦凡人
執迷不悟最傷神

長道慧愚皆是性
總言利鈍無非根
一聲長歎對暮雲

又

獨坐書齋伴微塵
閑翻經典漸黃昏
推演全賴中書君

筆走長篇時有錯
神遊片刻偶成真
此中憂樂不需陳

从全息原理到牛顿定律

继续上篇的讨论。

Verlinde的主旨，是希望将全息原理作为更基本的假设，并由它推导出我们已知的引力理论，如牛顿力学或广义相对论。为了解释这个想法，Verlinde反复引用了弹性理论的例子：一百多年前的人们并不知道什么是原子、什么是晶格，但这并不妨碍他们建立关于固体弹性的宏观理论。只是当人们认识到了原子之后，才可以重新用原子理论的一套方法重新推导出已有的弹性理论。Verlinde认为，牛顿力学或者广义相对论恰好相当于宏观的弹性理论，而全息原理就扮演原子理论的角色。

这自然是恰当的类比。然而引力与弹性理论的不同在于，我们今天还处在“前Planck物理”时代，因此并无完整的全息原理可供使用。所以要找到一个合适的全息假设，我们只能从现有的理论入手，管窥蠡测地去寻找全息原理的蛛丝马迹。这虽然困难，却并非不可能。因为，虽然微观理论深藏于极其微小的Planck尺度，但是那里发生的一些秘密会泄漏到我们可见的世界中，这就是黑洞熵。

在经典情形，黑洞只有极少的自由度，即质量、角动量和内部对称性的荷（例如电荷）。这就是所谓的无毛定理（No-hair theorem）。然而当考虑量子效应后，黑洞就有非零的熵，且正比于其表面积。这一点最初似乎由Bekenstein提出。事实上，如果黑洞熵正比于其表面积，则当我们向黑洞中投入一颗质点后，黑洞的熵和表面积都会增加。可是人们当时已经知道，当质点以恰当的方式被投入Kerr黑洞时，黑洞的质量与表面积并不增加。

Bekenstein注意到[1]，这个结论基于“质点”的假设。当我们考虑了量子力学后，任何粒子，即使是基本粒子，都有一个尺度，它或者是粒子的Compton波长，或者是Schwarzschild半径。当这样一个半径不为零的“球状物”被投入黑洞时，黑洞的半径确有不为零的增长。Bekenstein将之视为黑洞熵的增长。

黑洞有熵，意味着它包含着巨大的微观自由度。不仅如此，黑洞还有温度，还有热辐射。这就是著名的Hawking辐射。当然，这也是与经典理论直接相悖的结论：根据经典广义相对论，黑洞不仅无毛，而且一毛不拔。

为了理解这个结果，Unruh给出了一个有趣的解释[2]，现在人们称之为Unruh效应。它说，在惯性系中的观察者看来空无一物的真空，在加速的非惯性系观察者看来，却是一个有温度的“热浴”，这个加速观者将看到无数的作热运动的粒子。简单地讲：你只要在真空中兜圈子，周围就会变热。你跑得越快，温度就越高。

这个有悖直觉的结论其实并不太出乎意料。关键在于，加速观者与惯性观者所用的钟表不同：它们之间并不是简单的Lorentz变换，而是一个非平凡的广义坐标变换。另一方面，我们知道，量子场论中的真空实际上是指万物的基态：并非一无所有，而只是悄无声息而已。一旦当你进入到一个加速的参考系中，由于你所携带钟表变了节拍，原来悄无声息的基态就变得喧闹起来。这就是热背景的由来。

Unruh效应虽然是对平直空间而言，但与Hawking辐射其实是一件事情。你只需注意到，自由降落的参考系与惯性系无异：无论在下坠的电梯还是漂浮在太空中的飞行器，你在其中感受到的物理是一样的，尽管心情可能完全不同。所以，一个自由降落进黑洞的观测者就相当于惯性观察者，他不知道什么是黑洞，当他穿过黑洞边界时不会出现任何异常。自然，他也看不见黑洞辐射。然而在它看来，远处的观察者相对于它在作加速运动。而根据Unruh效用，相对于惯性系作加速运动的观察者必看到热辐射：这就是Hawking辐射。

好了，以上就是全部的准备工作。接下来我们展示Verlinde的推导。[3]

Verlinde说引力是熵力，即熵增原理的宏观效果。比如渗透现象就是一种熵力。在给定的温度T下，根据能量守能，熵力F可由熵变ΔS确定为：
 
因此只要知道了温度T和熵变ΔS对位移Δx的依赖，即可求出熵力。

不要忘记全息原理：它说，信息储存在界面上。首先考虑局域的情形，我们取一小块屏：

大致上我们可以将此屏视为空间的边界。这块屏的左边是什么我们不清楚，而它的右边则是我们已知的空间。现在，在其右端距离一个Compton波长左右的位置Δx放置一颗质量为m的粒子，全息原理假定，由此粒子贡献于屏上的熵ΔS为：

这就是熵变对位移的关系。至于温度，我们有Unruh效应：对于一个加速度为a的观察者，“真空”的温度由下式给出：

由以上三式，消去熵变ΔS和温度T，瞧瞧我们得到了什么：

以上是一个局域的推导。接下来我们取一块完整的屏，一张包围了质量M的球面。

根据全息原理，假定该球面所包围的微观自由度N正比于其表面积A。由量纲的考虑补充进适当的常数，就是：

 

再假设此球体内的能量均分于各微观自由度，即Boltzmann能量均分：

而该能量E由球面所包含的质量给出：

另外，球的表面积A为：

则由以上四式，再加上熵力的定义（1）与全息假设（2），不难得到：

OK，我们暂停此处，不多解释。

 

给出参考文献，供希望知道细节的同学查阅：

[1] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 7, 2333 (1973)

[2] W. G. Unruh, Phys. Rev. D 14, 870 (1976)

[3] E. Verlinde, arXiv: 1001.0785 (2010)

全息引力

自然界有四种基本相互作用。这是现代物理中惯常的说法。在这四种相互作用中，引力（gravity）无疑是最早为人所知的一种。牛顿的万有引力定律在今天已成为人所共知的规律。然而在目前看来，引力也是四种基本相互作用中最令人费解的一种。

其实说费解倒也未必，因为我们对引力并非一无所知。实际上，我们有广义相对论。这个描写引力的理论从理论结构到实验验证无疑都很成功，近乎完美。

既然如此，我们仍然认为引力难于理解，就必然另有原因。我以为这个原因来自引力独特的个性。与其它三种相互作用相比，引力显得非常与众不同。如果你下意识地认为四种相互作用应当在某种程度上被统一（亦即可由单一的理论来解释），那么这种与众不同就显然难以理解了。

引力最突出的特征在于，它作用于所有的物质。如果观察其余三种相互作用，我们就会发现，每一种相互作用都只对带有相应“荷”的一类物质起作用。比如，只有带电荷的物质间才会有电磁作用。而引力则不同，它与所有具有能量的物质发生作用。所以或许可以等效地说，能量就是引力的荷。

既然如此，也许引力与其余三种相互作用确有不同的起源。广义相对论将它的起源归结于时空的几何。这个观察来自等效原理，简言之即惯性质量和引力质量相等。如果确实如此，那么只需要牛顿定律，你就会发现，在引力作用下的质点的运动方程与它的质量无关，或者说与物理的动力学无关，从而变成了一个纯几何的方程。等效原理在这里所起的作用十分关键，所以它的正确性自然就很重要。这就是为什么自伽利略扔铁球以后的几百年里，人们还在不断地重复类似的实验而只是为了提高精度。的确，等效原理在目前已被验证到了极高的精度，大致在十个量级以上。

不过可惜的是，这些验证都是宏观的实验。因为引力实在太微弱，所以在微观领域极难被观察到。事实上，目前还没有实验能在毫米尺度以下观察引力的效应。相对于高能物理中的其他相互作用而言，这个尺度显然是非常大的。说得严重一些，我们根本没有在毫米以下的尺度观察到引力，所以没有任何直接证据表明等效原理以及广义相对论在这个尺度下仍然成立。

这为理论家让出了空间。既然引力的微观规律完全未知，那么不妨假设它是衍生的（emerge）。也就是，在微观领域并不存在什么万有引力——它只是另一种微观物理在宏观条件下所显示的现象。正如压强：你无法谈论一颗气体分子的压强是多少，因为压强是大量气体颗粒的集体行为。

物理学家在“衍生”的引力方面做出了各种尝试。花样翻新，一年一度。如果说去年的热点是Horova在一月份提出的“相变”引力（见此前的一篇日志【切除时间】），则今年的热点就是Verlinde同样在一月份提出的“熵力”。

简单地声称引力是衍生现象自然是没有根据的——我们得有一个可作为指导性的原则，或假设，方可作此断言。这就如同声称引力是几何效应需要以等效原理为前提。

Einstein的相对论基于等效原理，而Verlinde提出的“熵力”则基于全息原理。

与等效原理不同的是，全息原理到目前为止不仅没有实验验证，甚至在理论上也是不完全的。人们并不清楚如何一般而精确地表述它。大体上，这个原理是说，一团空间内的物理可以由其边界上的过程所描述。

关于全息原理，物理学家的灵感来源于黑洞。根据Bekenstein的著名结果，黑洞有熵，且其大小正比于黑洞视界的面积。如所周知，熵这个物理量记录了物质所含状态数（或者信息量）的多少。黑洞具有非零的熵，意味着它具有大量的微观状态数。此熵又正比于视界的面积，这个事实暗示我们，黑洞的微观状态都被记录在了它的边界上。

由此我们可以推断出另一个有趣的事实，即一团空间内所能包含的最大熵，或者说，这团空间所能记录的信息量，存在上限。对于一团球形的空间，这个上限恰好是以其边界为视界的黑洞的熵。（这个推导很简单，请见此前的一篇日志【不确定性原理的毁灭？】。）瞧，空间所含的信息量由其边界所控制，可见全息的概念不止出现在黑洞中。

一定体积的空间所包含的信息量有限，这与量子场论直接矛盾。因为通常的场论是一个定域的理论，它假设时空是连续的，从而可以谈论“点”的概念。在场论中，原则上可以将物理对象局限于任意小的区域内，从而一团空间所能承载的信息量原则上可以任意大。

这里之所以出现了矛盾，乃是由于连续时空的假设是一种近似。场论通常所涉及的尺度比时空涨落的尺度大了许多，因此对这种涨落并不敏感。这很好理解：比如，我们通常可以认为固体中的声波是连续的弹性波，这是因为此时的声波波长远大于晶格的大小。但是如果振动模式的波长与晶格的尺度相当，则连续波的近似就不再成立。在固体物理中，计算固体比热的Debye方法就用到了连续波近似，结果遇到发散。发散的原因是此近似在高频区（短波长）不再成立，所以需要截去高频区的贡献，以得到一个有限的结果。与之完全相同，量子场论中屡屡出现的发散，也可以被解释成高能区（小尺度）下场论的连续时空假设完全失效的结果。

全息原理与量子场论的矛盾，显示出引力更为独特的个性。它暗示我们，可能某些大尺度下的引力效应，也根本无法用场论描述。此时需要另一套与场论完全不同的方案，比如弦论。或者是Verlinde提出的熵力。Verlinde指出，若从全息原理出发，将引力视作一种熵增效应，则在某些一般的假设下，可以推导出牛顿第二定律以及万有引力定律。而实际的推导只需要初中数学就够了。关于其中细节，容我下回再叙。

肮脏的物理

请问，1+1+1+1+……，这个求和的结果是多少？

几乎不用思考，你立即就能指出，它的结果是无穷大。

然而，据说，物理学家们认为1+1+1+1+……=-1/2。

令我印象深刻的是，Wiki在对这个序列的介绍中引用了一篇文章(arXiv:gr-qc/0409076v1)中的话。我姑且将它抄在这里：

• “在不到一年的时间内，两位杰出的物理学家Slavnov和Yndurain先后来到巴塞罗那讲讨论课，当然是关于两个不同的领域。值得注意的是，在演讲中的某处，两人都向听众说出了这样的话：‘如所周知，1+1+1+…=-1/2’(As everybody knows, 1+1+1+…=-1/2)。”

该文进而评论道：

• “也许这意味着，‘如果你连它都不知道，那就不用听下去了’。顺便提一下毕达哥拉斯学派的引理，‘不懂几何者勿入’。”

我也顺便提一下，“不懂几何者勿入”似乎是柏拉图学园的门牌，跟毕达哥拉斯无关。

这个计算用到了zeta函数正规化方法。（zeta函数正规化其实在场论中经常出现，但常见的场论初级教科书对此很少提及。我参考Ramond的书以phi-four理论为例将其整理成一个简单但粗糙地笔记，供感兴趣的同学【下载】。）

正规化方法是理论物理中常见的计算方法。非常粗糙地讲，它的大意是：对一个发散的表达式进行计算，并算出一个结果。

含有发散的问题常使人感到尴尬，当然这也因人而异。通常令数学家忍无可忍、火冒三丈的东西，物理学家却处之泰然。这正是物理与数学的巨大区别。这使我想到某位前辈（如果没记错应该是Pauli）说过的话：“要学物理，就得把手弄脏（To learn physics you must get your hands dirty.）。”

许多初入门径的物理系学生对此颇不习惯，我感受尤深——这里插两句闲话。清华数理基科班富有实验精神，善于拿各届学生做试验。我这一届所接受的实验方式是，从大一开始学习很专业的数学，数学系的老教授讲课时完全将我们视为未来的纯数学家。事后看来，这样做的好处与缺点都非常明显（这里是相对物理系的同学，对数学系而言显然是优点远大于缺点）。比如，最终大家都学会了“用数学分析课来攻击量子力学的严格性”（量子力学老师庄鹏飞先生语）。

我想说，物理学对这种攻击基本上是免疫的。理由如下：

1、这一条送给物理的初学者。在大多数情况下，物理推导显得不严格，并非由于它们真的不严格，而是因为物理学家知道如何严格地表达它们，但这种严格表达的代价也许是大费一番唇舌，故而代之以大家都能看懂的却不那么严格的方式。这种情形多出现于初级的物理课本中，比如四大力学。

2、另一些情况下，物理定理显得不严格，是因为物理学家根本没打算让它变得严格。比如常见的连续条件、可微条件，物理学家常常一概不管。这种不拘小节显然可以大大提高工作效率，而且通常不会出错（当然也有出错的时候，那要另当别论）。事实上，物理方法的亮点就在于“关心主要矛盾”。从而，它很忌讳“事无巨细”。

到此为止，我一直试图照顾数学系同学的情绪。接下来，就要原形毕露了：

3、在一些极可能“出错”的地方，物理学家宁可出错，而不是去关心严格性。比如前文提及的正规化方法。事实上，对同一个发散的表达式，使用不同的正规化方法进行计算，时常会得到不同的结果。（比如，对非绝对收敛的级数任意调换求和次序。）此时，物理学家更感兴趣的问题是，这些不同的结果是否都有物理意义，或者，哪些结果最令人感兴趣。因为，结果之所以如此，往往是因为在对物理问题作数学陈述的过程中已经出现了某种错误，因而正规化方法就相当于将错就错，错错相抵。对此A. Zee说过，“天才和凡人都犯错，不同的是天才错偶数次，而凡人错奇数次”。

4、物理学家关心“发现了什么”而不是“是否严格”。物理学从来没有严格过。近代物理学的第一套完整理论——牛顿力学，就建立在远非严格的微积分的基础上。推而广之，近代科学的第一要义，绝不是关于严格，而是关于有效性。（因而在这个意义下，数学并不能算作科学。）科学的威力对人们的震慑并不来自它的严格性，而是来自它的效果。工业革命、电器技术、原子弹、卫星，对大众而言，这其中的任何一点都比纸上谈兵的严格性证明更具说服力。你会发现，科学常常自称有一套“严格的研究方法”，但这只是自我标榜而已。可是人们常常被这种标榜弄得习而不察，竟然往往视“科学的方法”这个短语为褒义，实在滑稽。事实上，要论严格性，科学可能远不及中世纪的神学。

5、对于物理学家而言，本来也无关心严格性的必要。因为物理学的对象是自然。在我看来，对人而言，自然最大的诱惑力在于它的复杂性。因此如果我们仍要一厢情愿地将自然理解为一颗晶莹剔透、完美无瑕的钻石，那简直就是对自然的侮辱。说到底还是那句话：自然不是无菌室，要想研究它，就得将手弄脏。

(附件：关于Zeta function regularization的note)